On quantum curves, Airy structures and supersymmetry

W pracy tej rozwijamy teorie krzywych kwantowych, topologicznej rekurencji i kwantowych struktur Airy. Pozwalają one na obliczenia różnych niezmienników w matematyce oraz fizyce, zakodowanych w funkcjach partycji. Pojęcia te oraz wspomniane funkcje partycji są pomiędzy sobą misternie powiązane. Dwa główne aspekty tej pracy są następujące: pierwszym jest matematycznie ścisłe wyprowadzenie wyników dotyczących krzywych kwantowych, drugim natomiast supersymmetryczne uogólnienie wspomnianych pojęć. Nasze rozważania rozpoczynamy od związku pomiędzy wektorami osobliwymi algebry Virasoro oraz krzywymi kwantowymi. Związek ten, wprowadzony pierwotnie w kontekście macierzy losowych i związany z topologiczną rekurencją, był następnie przedstawiony przeze mnie oraz moich współpracowników z punktu widzenia konforemnej teorii pola (CFT). Matematycznym językiem CFT jest teoria algebr operatorów wierzchołkowych (VOAs). W pracy tej przeprowadzamy matematycznie ścisłą konstrukcję krzywych kwantowych pochodzących z wektorów osobliwych używając VOAs. Definiujemy funkcje falowe używając operatorów przeplatających pomiędzy trzema modułami nad VOAs. Działanie algebry Virasoro na funkcji falowej jest zdefiniowane za pomocą działania tej algebry na wektorach jednego z modułów. Jest ono następnie wykorzystane do wyprowadzenia reprezentacji algebry Virasoro na przestrzeni uogólnionych funkcji falowych. Reprezentacja ta stanowi jednoparametrową deformację reprezentacji otrzymanej przy wykorzystaniu metod CFT. Posługując się tymi definicjami dowodzimy pochodzącego z wektorów osobliwych równania Schrödingera. Supersymetryczne rozszerzenia CFT można podzielić na sektor Neveu-Schwarza oraz sektor Ramonda, wyposażone w odpowiednie super rozszerzenia algebry Virasoro oraz posiadające własne wektory osobliwe. W pracy tej prezentujemy supersymetryczną wersję odpowiedniości pomiędzy wektorami osobliwymi oraz krzywymi kwantowymi. Dokonujemy tego zarówno w sektorze NeveuSchwarza, jak i w sektorze Ramonda. Ograniczamy się tutaj do podejścia w języku CFT. Zmotywowani badaniami krzywych kwantowych, ich związku z topologiczną rekurencją, a także rozszerzeniem supersymmetrycznym, ostatnią część tej pracy poświęcamy supersymetrycznemu uogólnieniu kwantowych struktur Airy, które stanowią przeformułowanie oraz uogólnienie (przynajmniej w przypadku nie supersymetrycznym) topologicznej rekurencji. W formalizmie kwantowych struktur Airy rozważana jest rodzina kwadratowych Hamiltonianów stanowiąca algebrę ze względu na nawias Poissona. Po skwantowaniu otrzymujemy operatory różniczkowe oraz zadane przez nie równania różniczkowe anihilujące funkcję partycji. Operatory te tworzą algebrę Liego ze względu na standardowy komutator. Rozszerzamy definicję kwantowych struktur Airy wprowadzając nieparzyste zmienne Grassmana, co prowadzi nas do definicji super kwantowych struktur Airy (SQASs). Dowodzimy twierdznie o istnieniu i jednoznaczności wolnych enegrii, które są rozwiązaniem równań zadanych przez SQASs. W tym celu wykorzystujemy super analog lematu Poincaré. Prezentujemy także równania rekurencyjne na swobodne energie oraz więzy na tensory definiujęce SQASs pochodzące od warunków wynikająch z aksjomatów superalgebr Liego. Kwantowe struktury Airy mogą być także badane jako symplektyczne reprezentacje algebry Liego z pewną dodatkową strukturą. Poprzez rozkład tych reprezentacji na przestrzenie wag rozwijamy teorię tych struktur. Rozważania ilustrujemy odpowiednimi przykładami.

In this thesis we develop theories of quantum curves, topological recursion and quantum Airy structures. These notions and various partition functions that they compute are intricately related with each other. They enable computation of various interesting invariants in mathematics and physics. Two main aspects of this thesis are the following: mathematically rigorous treatment of the quantum curves and generalisation of these notions to the supersymmetric case. We start our considerations by studying the relationship between Virasoro singular vectors and quantum curves. This association, recently introduced in the context of random matrices and related to the topological recursion, was subsequently examined by me and my collaborators from the point of view of Conformal Field Theory (CFT). A mathematical language of CFT is the theory of Vertex Operator Algebras (VOAs). In this thesis we conduct a mathematically rigorous construction of the quantum curves originating from singular vectors using VOAs. We define wave functions using operators intertwining between three modules over VOA. Action of the Virasoro algebra on the wave functions is defined using the action of this algebra on one of the modules. This action is used to derive the representation of the Virasoro algebra on the space of generalised wave functions, which is a one parameter deformation of the representation derived using CFT methods. Using our definitions we prove Schrödinger equations coming from singular vectors. Supersymmetric extensions of CFT can be divided into Neveu-Schwarz sector and Ramond sector, equipped with corresponding super extensions of the Virasoro algebra and admitting singular vectors. Having discussed the bosonic (non-supersymmetric) relation between quantum curves and singular vectors, in this thesis we present a supersymmetric extension of the correspondence between singular vectors and quantum curves. This includes cases of the Neveu-Schwarz and Ramond algebras. Here we present CFT approach. Motivated by the study of quantum curves, their relation to the topological recursion, as well as the supersymmetric extension, we devote the last part of the thesis to supersymmetric generalisation of quantum Airy structures, which provide a reformulation and extension (at least in the nonsupersymmetric case) of the topological recursion. In this formalism one considers a family of quadratic Hamiltonians forming closed algebra under the Poisson bracket. After quantising them the differential operators are obtained, giving rise to the differential equations annihilating the partition function. These operators form a Lie algebra under the usual commutator. We extend the definition of the quantum Airy structures by including Grassman odd variables, defining super quantum Airy structures (SQASs). We prove the theorem about existence and uniqueness of the free energies, being solutions to the equations coming from SQASs. To this aim we use a super analog of the Poincaré lemma. We also present recursion relations on free energies as well as the constrains on the tensors defining the SQASs coming from the Lie superalgebra constraints. QAS can be also examined as symplectic representations of the underlying Lie algebra with some additional structure. We develop theory originating in the decomposition of those representations into weight spaces. We study examples.