Struktury geometryczne w klasycznej teorii pola z cechowaniem - redukcje, algebroidy Atiyaha, trójki Tulczyjewa

Celem niniejszej rozprawy doktorskiej jest znalezienie formalizmu matematycznego opisującego w sposób jasny i koncepcyjnie prosty klasyczne teorie pola z cechowaniem. W szczególności interesuje nas zagadnienie redukcji względem symetrii występujących w teoriach z cechowaniem oraz relacja między opisem lagranżowskim i hamiltonowskim tego typu pól. Pierwszym celem rozprawy jest znalezienie geometrycznej postaci formalizmu lagranżowskiego i hamiltonowskiego teorii z cechowaniem, które pozwolą na odpowiedni opis ich dynamiki. W tej części pracy w dużym stopniu opieramy się na strukturze geometrycznej, znanej w literaturze jako trójka Tulczyjewa, która szerzej opisana jest w rozdziale 3. Jedną z głównych zalet opisu Tulczyjewa jest fakt, że nie wymaga on regularności lagranżjanu do znalezienia dynamiki układu i przejścia do opisu hamiltonowskiego. Przez układ regularny mamy na myśli taki, dla którego odwzorowanie Legendre'a jest lokalnym dyfeomorfizmem. Jest to zaleta szczególnie istotna w kontekście teorii pola, gdzie większość fizycznie interesujących modeli jest nieregularna. Punktem wyjścia do skonstruowania trójki Tulczyjewa jest szczegółowa analiza geometrii wiązki koneksji oraz jej wiązki konfiguracyjnej i fazowej, opisana w rozdziale 5. Drugim celem pracy jest zredukowanie uzyskanej przez nas trójki Tulczyjewa względem wewnętrznych symetrii teorii z cechowaniem. Ogólny formalizm klasycznej teorii pola oparty jest na wiązkach dżetów nad rozwłóknieniem, jednak w fizyce lagranżjany teorii z cechowaniem zazwyczaj nie zależą od całego dżetu koneksji, a jedynie od wartości koneksji w punkcie i od jej krzywizny. Naturalne jest więc pytanie jak opisać geometrycznie rzut związany z przejściem od dżetu koneksji do jej krzywizny. Tego typu rzut niesie ze sobą redukcję całej struktury teorii z cechowaniem zależnych jedynie od krzywizny i jest szczegółowo opisany w rozdziałach 5 i 6. Ostatni rozdział poświęcony jest redukcji względem symetrii cechowania. Podstawowym narzędziem w tej części pracy jest opisana w rozdziale 7 metoda dressingu pól cechowania. Istotnym wynikiem w tym kontekście jest opis geometryczny metody dressingu w języku wiązek dżetów oraz wiązek głównych, w ramach zarówno całkowitej jak i częściowej redukcji symetrii cechowania, a następnie pokazanie jak za jej pomocą zredukować formalizm lagranżowski teorii z cechowaniem.

The aim of this thesis is to find a mathematical framework providing a clear and conceptually simple description of classical gauge field theories. In particular we are interested in the reduction with respect to internal symmetries of gauge theories and in the relation between Lagrangian and Hamiltonian description of this class of fields. Our first goal is to construct a geometrical picture of the Lagrangian and Hamiltonian description of gauge theories, which will allow a convenient description of the dynamics. This part of the thesis is primarily based on a geometrical structure known in the literature as a Tulczyjew triple, and which is described in detail in the section 3. One of the main advantages of the Tulczyjew formalism is that it does not require any regularity of the Lagrangian to find the dynamics of the system and to pass to Hamiltonian description. By a regular system we mean a system, for which a Legendre map is a local diffeomorphism. This feature is particularly important in classical field theory where most of the interesting systems coming from physics is irregular. The starting point for the construction of the Tulczyjew triple is a rigorous analysis of the geometry of the bundle of connections and its configuration and phase bundle. In the next step we perform a reduction of the derived Tulczyjew triple with respect to the internal symmetries of gauge theories. The general formalism of classical field theory is based on jet bundles over a fibration, but in physics Lagrangian usually does not depend on the full jet of the connection but only on its value and curvature. It is a natural question in that context, whether the projection of the first jet of the connection onto its value and curvature can be described geometrically. Such a projection implies the reduction of the entire structure of a given gauge theory and it is described in detail in sections 5 and 6. The last chapter of our work is devoted to the reduction with respect to gauge symmetry. Our main tool in this part is the so-called dressing field method, which is described in detail in the section 7. The important result of this section is the geometric description of the dressing field method in a language of jet bundles and principle bundles within both partial and full reduction of the gauge symmetry. As a consequence we obtain a reduced Lagrangian formalism for gauge field theories.