Resolutions of quotient singularities and their Cox rings

Celem niniejszej rozprawy jest zbadanie geometrii rozwiązań osobliwości ilorazowych C n/G dla G ⊂ SLn(C) przy użyciu stowarzyszonego obiektu algebraicznego – pierścienia Coxa. Interesuje nas skonstruowanie wszystkich rozwiązań krepantnych i kombinatoryczny opis relacji biwymiernych pomiędzy nimi. Opis taki można odczytać ze struktury pierścienia Coxa. Podajemy metodę konstrukcji pewnych skończenie generowanych podalgebr pierścienia Coxa R(X) rozwiązania krepantnego X → C n/G i trzy metody pozwalające rozstrzygąć, kiedy taki podpierścień jest całym pierścieniem Coxa. Konstrukcję przeprowadzamy w oparciu o badane przez Donten-Bury i Wiśniewskiego zanurzenie pierścienia Coxa w pierścień wielomianów Laurenta nad pierścieniem niezmienników komutanta [G, G] ⊂ G. Pierwszy sposób sprawdzenia, czy skonstruowana algebra jest równa R(X), opiera się na kryterium związanym z waluacjami dywizorów krepantnych nad osobliwością C n/G. Waluacje te można obliczyć przy użyciu odpowiedniości McKaya w sensie Ito i Reida jako zawężenia pewnych waluacji jednomianowych na pierścieniu funkcji wymiernych C(x1, . . . , xn). Stosujemy to kryterium do rodziny trójwymiarowych osobliwości ilorazowych związanych z reprezentacjami rozkładalnymi. Otrzymujemy prezentację R(X) poprzez generatory i relacje, której następnie używamy, aby zbadać geometrię rozwiązań kilku przykładów osobliwości ilorazowych. Jednym z nich jest nieskończona seria osobliwości ilorazowych zadanych przez grupy dihedralne, badana wcześniej przez Nollę de Cellis i Sekiyę przy użyciu innych metod. Analizujemy również geometrię rozwiązań krepantnych w najprostszych przypadkach osobliwości C 3/G o rozwiązaniu ściągającym dywizor do punktu. Ze względu na ograniczenia stosowanych uprzednio metod przykłady takich rozwiązań nie były dotychczas badane pomimo ich powszechności wśród rozwiązań trójwymiarowych osobliwości ilorazowych. Dwa przykłady należą do rodziny reprezentacji rozkładalnych a jeden do rodziny reprezentacji nieprzywiedlnych, które są istotnie trudniejsze do przeanalizowania. Drugi sposób jest oparty o twierdzenie charakteryzujące pierścienie Coxa w terminach geometrycznej teorii niezmienników (GIT). Przedstawiamy jego przykładowe zastosowanie, przeprowadzając alternatywny dowód w przypadku grup dihedralnych. Podajemy również ogólną metodę ograniczania stopni generatorów pierścienia Coxa przy użyciu twierdzenia Kawamaty-Viehwega o znikaniu i wielogradowanej wersji regularności Castelnuovo-Mumforda. Stosujemy tę metodę do zbadania trzech przykładów symplektycznych osobliwości ilorazowych w wymiarze cztery. Stosujemy tutaj inną technikę do rozstrzygnięcia, czy skonstruowana podalgebra jest równa całemu pierścieniowi Coxa, opierając się na działaniu algebraicznego torusa na rozwiązaniu. To działanie pozwala nam, dzięki twierdzeniu Lefschetza-Riemanna-Rocha, obliczyć ważną część funkcji Hilberta pierścienia Coxa. Spodziewamy się, że przedstawione w tej części pracy metody związane z działaniem torusa mogą zostać uogólnione i wykorzystane do badania innych przykładów.

The aim of this dissertation is to investigate the geometry of resolutions of quotient singularities C n/G for G ⊂ SLn(C) with use of an associated algebraic object – the Cox ring. We are interested in construction of all crepant resolutions and a combinatorial description of birational relations among them. This information can be read off the structure of the Cox ring. We give a method to construct certain finitely generated subalgebras of the Cox ring R(X) of a crepant resolution X → C n/G and present three methods to verify when such a subring is actually the whole Cox ring. The construction relies on the embedding, investigated by Donten-Bury and Wiśniewski, of the Cox ring into the Laurent polynomial ring over an invariant ring of the commutator subgroup [G, G] ⊂ G. The first method to verify whether a constructed subalgebra is equal to R(X) relies on a criterion involving valuations of crepant divisors over the singularity C n/G. Such valuations can be computed using the McKay correspondence of Ito and Reid as restrictions of certain monomial valuations on the field of rational functions C(x1, . . . , xn). We apply this method to the family of three-dimensional quotient singularities given by groups acting via reducible representations on C 3 . We obtain a presentation of R(X) in terms of generators and relations, which is then used to study the geometry of resolutions for several examples of quotient singularities. One example is the infinite series of quotient singularities given by dihedral groups, investigated previously by Nolla de Cellis and Sekiya with different methods. We provide an alternative treatment for such quotients. We also investigate the geometry of crepant resolutions in the simplest examples of the quotient C 3/G when such a resolution contracts a divisor to a point. Due to limitations of methods used prior to our work examples exhibiting such a phenomenon were not studied earlier even though they are typical among resolutions of three-dimensional quotient singularities. Two examples we present belong to the family of reducible representations and one belongs to the family of irreducible representations which is substantially harder to analyze. The second method is based on the characterization theorem for the Cox ring in terms of Geometric Invariant Theory. We present an example of its use when we give another proof in the case of dihedral groups. We also give a general method to bound degrees of generators of the Cox ring by use of the Kawamata-Viehweg vanishing and the multigraded Castelnuovo-Mumford regularity. We use this method in the study of three examples of symplectic quotient singularities in dimension four. In this study we use another technique to verify that a constructed subalgebra is equal to the Cox ring, based on the algebraic torus action on the resolution. The action allows us, via the Lefschetz-Riemann-Roch theorem, to compute important part of the Hilbert series of the Cox ring. We expect that this idea may be generalized and used to study other examples.