Pewne aspekty mechanizmów molekularnych cyklu komórkowego i wzrost diauksyczny w ujęciu matematycznym

Celem rozprawy jest dokonanie matematycznego opisu cyklu komórkowego, uwzględniającego wpływ różnych białek na regulację czasu rozpoczęcia podziału komórki. Istotną rolę w owym opisie będzie odgrywało zachowanie diauksyczne. Rozprawa ta jest pierwszym, zdaniem autora, matematycznym opisem bardzo ważnego biologicznie wzrostu diauksycznego - na różnych poziomach, nie tylko w odniesieniu do cyklu komórkowego. Praca jest rozwinięciem metod zaproponowanych w moich publikacjach. Cykl komórkowy jest jednym z najważniejszych procesów biologicznych zachodzących w komórkach różnorodnych żywych organizmów: od jednokomórkowych bakterii po wielokomórkowe ssaki. Jest to uporządkowana sekwencja zdarzeń, w trakcie której komórki najpierw podwajają swoją masę, a następnie rozdzielają się na dwie komórki potomne. Mimo swojego znaczenia cykl komórkowy ciągle pozostaje procesem nie w pełni poznanym. W szczególności dotyczy to patomechanizmów, które prowadzą do jego niewłaściwego przebiegu, co leży u podstaw szeregu chorób, przede wszystkim nowotworowych. W pracy doktorskiej zamieściłem uzyskane przeze mnie wyniki dotyczące regulacji cyklu komórkowego oraz zaobserwowanej w tym kontekście dynamiki diauksycznej wybranych aktywności enzymatycznych. Przy konstruowaniu modeli matematycznych bazowałem na jakościowych danych eksperymentalnych oraz korzystałem z wyników numerycznych jako inspiracji do formułowania hipotez biologicznych. Pierwszym problemem badawczym w mojej pracy było opisanie regulacji czasu wejścia komórki w fazę podziału w cyklu komórkowym oraz wpływu białek CDK1, PPDA i dodatkowo CDC25 na wspomniany proces. Zaproponowałem serię modeli matematycznych opisujących dynamikę CDK1, PPDA i CDC25. Chciałem sprawdzić, czy otrzymane dane eksperymentalne zgadzają się jakościowo z wynikami symulacji oraz czy analiza numeryczna może pomóc w zrozumieniu złożonej wzajemnej interakcji między CDK1 i PPDA oraz jej wpływu na czas wejścia w mitozę. Badania w tym zakresie miały charakter wstępny i ograniczyły się tylko do symulacji komputerowych. Drugim zagadnieniem, którym się zajmowałem, było zbadanie wpływu białka CDC6 na zmianę tempa rozpoczęcia podziału komórki. Na podstawie eksperymentów została postawiona hipoteza, że za wzrost diauksyczny aktywności kompleksów kinazy CDK1 i cykliny B odpowiada białko CDC6. Zaproponowany model matematyczny prowadzi do możliwego wyjaśnienia tego zjawiska. Zbadałem własności modelu: stany stacjonarne, ich dodatniość i stabilność. W dalszej kolejności porównałem symulacje numeryczne z wynikami eksperymentów. Na podstawie wyników numerycznych zostało potwierdzone, że aktywność kompleksów CDK1 i cykliny B ma wzrost diauksyczny, który jest wynikiem działania białka CDC6. Powyższe opublikowane wyniki rozszerzyłem o analizę globalnej stabilności układu równań oraz ścisłe badanie błędu metody numerycznej. W rezultacie otrzymane wyniki potwierdzają ściśle zachowanie diauksyczne. Stosowane metody polegały na ścisłej analizie dokonanych symulacji. Kolejnym problemem było sformułowanie ogólnych warunków, kiedy rozwiązania równań różniczkowych mają wzrost diauksyczny. W przypadku jednowymiarowym sformułowałem warunek wystarczający, aby rozwiązanie miało wzrost diauksyczny. W przypadku dwuwymiarowym rozważałem szczególną sytuację, gdy w drugim równaniu występuje mały parametr. Pokazałem, że przy spełnieniu założeń twierdzenia Tichonowa-Wasiljewej badanie wzrostu diauksycznego w takim układzie można zredukować do przypadku jednowymiarowego. Ostatnim rozważanym problemem było zaproponowanie modeli w skali mezoskopowej, które prowadzą do wzrostu diauksycznego. Nieliniowe modele, które zaproponowaliśmy, są opisane za pomocą równań całkowo-różniczkowych w dwóch przypadkach: zachowawczym i nie. Przy przejściu ze skali mezoskopowej do skali makroskopowej pojawiał się wzrost diauksyczny, obserwowany na poziomie makroskopowym.

The aim of the dissertation is to make a mathematical description of the cell cycle, taking into account the influence of various proteins on the regulation of the time of the start of cell division. An important role in this description will be played by diauxic behavior. This dissertation is the first, in the author's opinion, mathematical description of a biologically very important diauxic growth - on various levels, not only in relation to the cell cycle. The work is an extension of the methods proposed in my publications. The cell cycle is one of the most important biological processes that occur in the cells of a variety of living organisms: from single-celled bacteria to multicellular mammals. This is an orderly sequence of events in which cells first double in mass and then split into two daughter cells. Despite its importance, the cell cycle is still not fully understood. In particular, this applies to pathomechanisms that lead to its improper course, which is the basis of a number of diseases, especially cancer. In my doctoral thesis, I included the results I obtained regarding the regulation of the cell cycle and the diauxic dynamics of selected enzymatic activities observed in this context. When constructing mathematical models, I relied on qualitative experimental data and used numerical results as an inspiration to formulate biological hypotheses. The first research problem in my work was to describe the regulation of the time of the cell entering the division phase in the cell cycle and the impact of the CDK1, PPDA and additionally CDC25 proteins on this process. I proposed a series of mathematical models describing the dynamics of CDK1, PPDA and CDC25. I wanted to check whether the obtained experimental data agree qualitatively with the simulation results and whether numerical analysis can help to understand the complex interaction between CDK1 and PPDA and its impact on the time of entry into mitosis. Research in this area was preliminary and limited to computer simulations only. The second problem I dealt with was to investigate the effect of the CDC6 protein on changing the rate of cell division initiation. Based on the experiments, a hypothesis was put forward that the CDC6 protein is responsible for the diauxic growth in the activity of CDK1 kinase and cyclin B complexes. The proposed mathematical model leads to a possible explanation of this phenomenon. I examined the properties of the model: stationary states, their positivity and stability. Next, I compared the numerical simulations with the experimental results. Based on the numerical results, it was confirmed that the activity of the CDK1 and cyclin B complexes has a diauxic growth, which is the result of the action of the CDC6 protein. I extended the above published results by an analysis of the global stability of the system of equations and a rigorous study of the error of the numerical method. The obtained results confirm strictly the diauxic behaviour. The methods used consisted in a rigorous analysis of the simulations performed. The next problem was to formulate general conditions when solutions of differential equations have diauxic growth. In the one-dimensional case, I formulated a sufficient condition for the solution to have diauxic growth. In the two-dimensional case, I considered a particular case when there in the second equation a small parameter occurs. I proved that if the assumptions of the Tikhonov-Vasilyeva theorem are satisfied, then study of diauxic growth in such a system can be reduced to a one-dimensional case. The last problem was to propose models in mesoscopic scale that lead to diauxic growth. The nonlinear models we proposed are described by integro-differential equations in two cases: conservative and not. At the transition from the mesoscopic scale to the macroscopic scale the diauxic growth occurs at the latter level.