Motivic Chern Classes and Stable Envelopes

Tematem niniejszej rozprawy doktorskiej są kohomologiczne niezmienniki rozkładu Białynickiego-Biruli. W szczególności badamy dwie klasy charakterystyczne: motywiczną klasę Cherna komórki Białynickiego-Biruli i stabilną otoczkę Okounkov'a. Obie te klasy są elementami ekwiwariantnej K-teorii. Stabilna otoczka jest zdefiniowana aksjomatycznie, podczas gdy motywiczna klasa Cherna może być zadana w sposób jawny za pomocą rozwiązania osobliwości. Stabilna otoczka zależy od dodatkowego parametru nazywanego "slope". W pracy definiujemy skręconą motywiczną klasę Cherna która również zależy od tego parametru. Jej konstrukcja jest połączeniem definicji motywicznej klasy Cherna (Brasselet-Schurmann-Yokura) i idei inspirowanych teorią ideałów mnożników. Aby dowieść, że skręcona klasa nie zależy od rozwiązania osobliwości używamy słabego twierdzenia o faktoryzacji. W rozprawie dowodzimy, że gdy rozkład Białynickiego--Biruli jest dostatecznie regularny to motywiczna klasa Cherna jest równa stabilnej otoczce dla specjalnej wartości parametru "slope". Ponadto wykazujemy, że skręcona motywiczna klasa Cherna pokrywa się ze stabilną otoczką dla dowolnej wartości parametru "slope". Na koniec dowodzimy, że rozkład rozmaitości jednorodnych na komórki Schuberta jest dostatecznie regularny. Umożliwia to zdefiniowanie stabilnej otoczki dla rozmaitości jednorodnych za pomocą rozwiązania osobliwości. Nasze rozumowania są oparte o twierdzenia o lokalizacji i twierdzenie Lefschetza-Riemanna-Rocha.

Cohomological invariants of the Białynicki-Birula decomposition are the main subject of this dissertation. In particular we study and compare two characteristic classes: the motivic Chern class of a Białynicki-Birula cell and Okounkov's stable envelope. Both of these classes live in the torus-equivariant K-theory. The stable envelope is defined axiomatically, while the motivic Chern class can be constructed explicitly in terms of a resolution of singularities. The stable envelope depends on an additional parameter called slope. We define the twisted motivic Chern class which also depends on this parameter. Our construction is a combination of the Brasselet-Schurmann-Yokura definition of the motivic Chern class with the ideas coming from the theory of multiplier ideals. To prove that this class is independent of the choice of a resolution of singularities we use the weak factorization theorem. We prove that if the Białynicki-Birula decomposition is regular enough, then the motivic Chern class coincides (up to normalization) with the stable envelope for a special value of a slope. Moreover, we prove that the twisted motivic Chern class coincides with the stable envelope for all slopes. Finally, we show that the decomposition of a homogenous variety into the Schubert cells is regular enough. This allows to define the stable envelope for homogenous varieties in terms of a resolution of singularities. Our methods are based on the localization theorems and the Lefschetz-Riemann-Roch theorem.