Singularities of minimizing harmonic maps into closed manifolds

Tematem niniejszej pracy są osobliwości minimalizujących przekształceń harmonicznych o wartościach w zamkniętej rozmaitości, ze szczególnym uwzględnieniem przekształceń w sferę S 2 . Z de nicji są to przekształcenia z zadanym warunkiem brzegowym, minimalizujące energię Dirichleta E(u) = R |∇u| 2 . Od ponad 30 lat wiadomo, że przekształcenia takie są gładkie poza pewnym zbiorem domkniętym kowymiaru co najmniej 3, zwanym zbiorem osobliwym. Jednak dopiero w ostatnich latach wykazano, że miara Hausdor a (kowymiaru 3) tego zbioru jest lokalnie skończona. Zaczniemy od zbadania regularności zbioru osobliwego. Dla przekształceń w S 2 dowiedziemy mianowicie, że zbiór osobliwy jest topologiczną podrozmaitością kowymiaru 3 (z dokładnością do zbioru miary zero), wykluczając w ten sposób możliwe dziury w zbiorze osobliwym. Taki wynik był dotychczas znany jedynie dla dziedzin wymiaru 4. Następnie zaprezentujemy możliwe uogólnienia pochodzącego od Nabera i Valtorty dyskretnego twierdzenia Reifenberga. Są to ogólne narzędzia z zakresu geometrycznej teorii miary, pozwalające na uzyskanie górnych ograniczeń na miarę zbiorów spełniających odpowiednie założenia płaskości typu Reifenberga. Omówimy też zastosowanie takich twierdzeń do badania osobliwości. Na koniec wykorzystamy i wzmocnimy dostępne lokalne oszacowania, by zbadać zależność osobliwości przekształcenia minimalizującego u: Ω → S 2 od jego przekształcenia brzegowego ϕ = u|∂Ω. Wykażemy, że miarę zbioru osobliwego można oszacować w sposób liniowy przez energię brzegową R ∂Ω |∇ϕ| n−1 , gdzie n = dim Ω. Co więcej, pokażemy stabilność osobliwości (w sensie odległości Wassersteina) przy zaburzeniach przekształcenia brzegowego w normie W1,n−1 .

This thesis is concerned with singularities of minimizing harmonic maps into closed manifolds, with special emphasis on maps into the sphere S 2 . By de - nition, they are maps that minimize the Dirichlet energy E(u) = R |∇u| 2 with respect to given boundary conditions. Since the 80’s, such maps are known to be smooth outside a closed set of codimension at least 3, called the singular set; recently, its codimension 3 Hausdor measure was shown to be locally nite. First, we present a regularity theorem for the singular set. For maps into S 2 , we show that the singular set is indeed a codimension 3 topological submanifold (up to a set of measure zero), thus excluding possible arbitrary gaps in the singular set. This was previously known only for domains of dimension 4. Next, we give various extensions of Naber and Valtorta’s discrete Reifenberg theorem, a general tool in geometric measure theory that yields upper measure bounds for sets satisfying Reifenberg-type atness conditions. We also illustrate the applications in the study of singularities. Finally, building upon previously known local measure estimates, we study how the singularities of a minimizer u: Ω → S 2 depend on its boundary map ϕ = u|∂Ω. It is shown that the measure of the singular set can be estimated linearly in terms of the boundary energy R ∂Ω |∇ϕ| n−1 , where n = dim Ω. Moreover, the singular set is stable (in Wasserstein distance) with respect to W1,n−1 - perturbations of the boundary map.