Applications of the spin networks and spin foam models in quantum gravity

Piany spinowe (Spin Foams) są formalizmem całek po trajektoriach dla poszukiwań kwantyzacji pola grawitacyjnego w ramach Pętlowej Kwantowej Grawitacji (Loop Quantum Gravity, LQG). W tej rozprawie doktorskiej zostały przedstawione i rozwiązane cztery problemy modeli pian spinowych. Pierwszym przedstawionym zagadnieniem jest pytanie, na jakiej klasie 2-kompleksów należy zdefiniować modele pian spinowych, aby determinowana przez nie dynamika była określona dla wszystkich stanów kinematycznych LQG. W ramach badania tego zagadnienia wprowadzony został język diagramów, nazwanych diagramami operatorowo spin-networkowymi (Operator Spin-network Diagrams, diagramy OSD), pozwalający przedstawię pianę spinową jako zbiór grafów połączonych pewnymi relacjami. Każdy graf opisuje strukturę jednego wierzchołka piany spinowej: węzły grafu i połączenia węzłów grafu reprezentują odpowiednio krawędzie i ściany piany spinowej, stykające się z opisywanym wierzchołkiem. Relacje miedzy grafami w diagramach OSD opisują, w jaki sposób krawędzie i ściany łączą wierzchołki piany spinowej. Zostało udowodnione, że dla każdego diagramu OSD można w jednoznaczny sposób skonstruować 2-kompleks, którego komórki pokolorowane są tak, że można dla niego obliczyć pianową amplitudę przejścia. Ponadto wprowadzona została procedura sklejania diagramów OSD wzdłuż brzegów, odpowiadająca składaniu procesów kwantowych. Wszystkie możliwe diagramy OSD można przedstawić jako odpowiednie sklejenie diagramów elementarnych, tj. reprezentujących zero lub jeden wierzchołek oddziaływania. Wszystkie 2-kompleksy, które można uzyskać z diagramów OSD, tworzą klasę, która została zaproponowana jako adekwatna, aby zdefiniować na niej modele pian spinowych. Diagramy OSD zostały następnie użyte do rozwiązania tzw. problemu brzegowego, tzn. aby znaleźć wszystkie piany spinowe o z góry zadanym brzegu, składającym się z pary stanów - wejściowego i wyjściowego - będacych kinematycznymi stanami LQG. Sformułowany został algorytm pozwalający znaleźć szereg zawierający wszystkie diagramy OSD o określonym brzegu. Diagramy te uszeregowane są względem liczby wewnętrznych krawędzi odpowiadających im pian spinowych. Algorytm ten został przetestowany na modelu Dipole Cosmology (wprowadzonym w 2010 przez E. Bianchi, C. Rovelli oraz F. Vidotto). Znalezione zostały wszystkie diagramy dające wkład do amplitudy przejścia w modelu Dipole Cosmology w najniższym rzędzie. Zbadany został również wkład znalezionych diagramów do amplitudy. Okazało się, że amplitudy wszystkich znalezionych zanikają eksponencjalnie w granicy semiklasycznej, tak więc uwzględnienie ich nie psuje wyników autorów modelu Dipole Cosmology. Trzecim zagadnieniem badanym w ramach niniejszej rozprawy są nieskończoności występujące w pianach spinowych wywołane obecnością bąbli w 2-kompleksach (tzn. podkompleksów tworzących zamknięte powierzchnie). W ramach dotychczasowego języka opartego na 2-kompleksach znajdywanie bąbli było uciążliwe. Dzięki diagramom OSD wprowadzony został prosty algorytm pozwalający jednoznacznie zidentyfikować część diagramu reprezentującą bąbel. Wprowadzone zostało pojecie rzędu bąbla, mierzące liczbę elementarnych bąbli składających się na badany bąbel. Podana została metoda obliczenia rzędu bąbla dla dowolnego diagramu OSD. Powyższe narzędzia zostały zilustrowane przykładami prezentującymi kilka podstawowych typów bąbli. Czwarte pytanie, na które odpowiedź zawarta jest w tej rozprawie, związane jest ze szczegółową analizą konkretnego przykładu bąbla, zwanego bąblem typu melon. Bąbel typu melon jest pianą spinową reprezentującą proces analogiczny do energii samooddziaływania w Kwantowej Teorii Pola. Dotychczasowe badania pokazały, że jego amplituda jest proporcjonalna do pewnego operatora T, jednak sam operator T był nieznany. W ramach niniejszej rozprawy doktorskiej operator T został zbadany w granicy semiklasycznej. Uzyskano ścisłą postać wiodącego rzędu operatora T: dla ustalonych wartości własnych operatorów pola powierzchni jest on proporcjonalny do operatora jednostkowego ze współczynnikiem proporcjonalności zależnym od tych wartości własnych.

The Spin Foam models are a path integral picture of Loop Quantum Gravity approach to quantisation of gravitational field. This PhD thesis presents a study of four issues of Spin Foam models. The first problem addressed is the question of the class of 2-complexes, that ensure that Spin Foam models are compatible with the kinematic sector of Loop Quantum Gravity. A framework of diagrammatic representation of spin foams was developed while researching this issue. This diagramatic representation is called Operator Spin-network Diagrams (OSDs). The OSDs allow to express a spin foam as a collection of graphs, connected by certain relations. Each graph captures the local structure of one of spin foam vertices, i.e. nodes of a graph correspond to edges and links of a graph correspond to faces incident to a spin foam vertex. The relations between graphs in OSDs represent the way, in which edges and faces connect vertices. It is proven, that for each OSD there is an unambiguous way to construct a 2-complex with cells labelled by a spin foam coloring, so that one can calculate the spin foam transition amplitude. A clear procedure to glue OSDs along their boundaries was developed. Such gluing is an equivalent of composing quantum processes. All possible OSDs are characterised in terms of gluing of basic diagrams representing zero or one interaction vertex each. The proposition of the answer to the first question is that the appropriate class of 2-complexes for Spin Foam models is given by all the 2-complexes that can be obtained out of OSDs. The OSDs was applied to find a solution of so called boundary problem: to find all spin foams which have boundary given by certain initial and final states of Loop Quantum Gravity. An algorithm finding a series of all OSDs with a given fixed boundary is presented. The series is ordered by the number of internal edges of the corresponding spin foam. The algorithm is tested by applying it to Dipole Cosmology model (introduced in 2010 by E. Bianchi, C. Rovelli and F. Vidotto). All the diagrams contributing to Dipole Cosmology amplitude, which have the minimal number of internal edges, are found. The contribution to transition amplitude coming from these diagrams is studied. It appears that in this order of expansion all the diagrams except from one gives amplitudes that are exponentially suppressed in the semiclassical limit, thus their presence does not spoil the result of authors of Dipole Cosmology model. The third issue addressed in this thesis were the divergent amplitudes in Spin Foam models caused by bubbles in spin foam 2-complexes (i.e. subcomplexes forming closed surfaces). Within the framework of 2-complexes it is relatively hard to find the bubble part of a spin foam, whereas the framework of OSDs provides a simple procedure that unambiguously identifies the bubble subdiagram. A notion of the rank of a bubble is introduced. The rank counts the number of elementary bubbles that the considered bubble consist of. A method to calculate the rank for each given OSD is presented. Several simple cases of diagrams containing bubbles, that illustrate the algorithms, are presented and studied. The fourth question posed and answered within this thesis is related to detailed study of one particular case of a spin foam bubble, called melonic bubble. The melonic bubble is a spin foam analogue of self-energy renormalization in Quantum Field Theory. Recent research led to a conclusion, that in the first order the self-energy correction is proportional to some operator T, however the operator T was not known. In the thesis this operator is studied in semiclassical limit. After some elaborate calculations the exact form of the leading order of T is found: for fixed eigenvalues of the area operators it is proportional to the identity operator, with the proportionality constant dependent on the eigenvalues.