Limits of Saturated Ideals of Points with Applications to Secant Varieties

Głównym obiektem badań niniejszej rozprawy jest klasa schematów Hilberta z wielogradacją. Dla gładkiej rzutowej rozmaitości torycznej X z pierścieniem Coxa S[X], rozważamy funkcję Hilberta r punktów w położeniu ogólnym na X, tzn. h r,X : Pic(X) → N zadaną przez h r,X ([D]) = min{dim C Γ(X, OX (D)), r}. Schemat Hilberta z wielogradacją Hilb h r,X S[X] stowarzyszony z S[X] i h r,X ma wyróżnioną skła- dową nieprzywiedlną Slip r,X , która jest domknięciem zbioru punktów odpowiadających ideałom radykalnym i nasyconym. Celem tej rozprawy jest znalezienie kryteriów koniecznych lub wystar- czających do tego by punkt Hilb h r,X S[X] należał do Slip r,X . Motywacja do badania tego problemu pochodzi z lematu o brzegowej abiegunowości udowodnionego przez Buczyńską i Buczyńskiego. Główny nacisk kładziemy na przypadek X = P n . Prezentujemy trzy warunki konieczne do tego by punkt [I] ∈ Hilb h r,Pn S[P n ] należał do Slip r,P n . Pierwszy z nich jest uzyskany poprzez ograniczenie stopni minimalnych generatorów ideałów nasyconych J ⊆ S[P n ] takich, że [J] ∈ Hilb h r,Pn S[P n ] . Drugie kryterium bazuje na obliczeniu wielomianu Hilberta potęgi ideału radykalnego J takiego, że [J] ∈ Hilb h r,Pn S[P n ] oraz uzyskaniu ograniczenia na stopień od którego zgadza się on z funkcją Hilberta. Dowód trzeciego kryterium wykorzystuje teorię deformacji i flagowe schematy Hilberta z wielogradacją. Prezentujemy również warunek wystarczający do tego aby [I] ∈ Hilb h r,P2 S[P 2 ] należał do Slip r,P 2 . Rozważamy morfizm o spójnych włóknach f : X → Y pomiędzy gładkimi rzutowymi ro- zmaitościami torycznymi. Uzyskujemy warunek konieczny do tego aby [I] ∈ Hilb h r,X S[X] należał do Slip r,X . Mianowicie pokazujemy, że istnieje naturalny morfizm Hilb h r,X S[X] → Hilb h r,Y S[Y ] , który odwzorowuje Slip r,X na Slip r,Y . Dowodzimy również innego warunku koniecznego w przypadku gdy X jest produktem k ≥ 2 przestrzeni rzutowych. Kryteria ilustrujemy przykładami. W szczególności, opisujemy wszystkie ideały, które odpo- wiadają punktom Slip r,P 2 dla wszystkich r ≤ 6. Co więcej, wykorzystujemy nasze metody do uzyskania pewnych wyników o dzikich wielomianach.

The main object of study of this thesis is a class of multigraded Hilbert schemes. Given a smooth projective toric variety X with the Cox ring S[X] we consider the Hilbert function of r points on X in general position, i.e. h r,X : Pic(X) → N given by h r,X ([D]) = min{dim C Γ(X, OX (D)), r}. The multigraded Hilbert scheme Hilb h r,X S[X] associated with S[X] and h r,X has a distinguished irreducible component Slip r,X which is the closure of the locus of points corresponding to radical ideals that are saturated. The aim of this dissertation is to find necessary or sufficient conditions for a point of Hilb h r,X S[X] to belong to Slip r,X . This problem is motivated by the border apolarity lemma established by Buczyńska and Buczyński. Our main focus is on the case X = P n . We present three necessary conditions for [I] ∈ Hilb h r,Pn S[P n ] to be in Slip r,P n . The first of them is obtained by bounding the degrees of minimal generators of saturated ideals J ⊆ S[P n ] with [J] ∈ Hilb h r,Pn S[P n ] . The second criterion is based on the computation of the Hilbert polynomial of a power of a radical ideal J with [J] ∈ Hilb h r,Pn S[P n ] and establishing the bound on the degree from which it agrees with the Hilbert function. The proof of the third necessary condition uses deformation theory and flag multigraded Hilbert schemes. We also present a sufficient condition for [I] ∈ Hilb h r,P2 S[P 2 ] to be in Slip r,P 2 . We consider a morphism with connected fibers f : X → Y between smooth projective toric varieties. We obtain a necessary condition for [I] ∈ Hilb h r,X S[X] to be in Slip r,X . Namely, we show that there is a natural morphism Hilb h r,X S[X] → Hilb h r,Y S[Y ] and that it maps Slip r,X onto Slip r,Y . We also prove another necessary condition in the case that X is the product of k ≥ 2 projective spaces. We illustrate the criteria with examples. In particular, we describe all ideals which correspond to points of Slip r,P 2 for all r ≤ 6. Furthermore, we apply our techniques to obtain some results on wild polynomials.