Przemienne pierścienie filialne

W rozprawie rozważane są tylko pierścienie łączne, zwane dalej pierścieniami.Dobrze wiadomo, że w klasie pierścieni relacja bycia ideałem nie jest przechodnia. Celem rozprawy jest rozważenie szeregu zagadnień związanych z pierścieniami w których ta relacja zachodzi. Pierścienie te dalej będziemy nazywali filialnymi. Motywacją do naszych badań były prace między innymi: Kruse, Andrijanowa, Puczyłowskiego.W pierwszym rozdziale rozprawy przypominamy i uzupełniamy potrzebne dalej wiadomości o grupach, pierścieniach i klasach radykalnych.W drugim rozdziale przedstawiamy wyniki dotyczące filialnych pierścieni $\beta$-radykalnych. W szczególności uzupełniamy pewne luki w klasyfikacji $H$-pierścieni (tj. pierścieni, w których każdy podpierścień jest ideałem) podanej przez Kruse i Andrijanowa, poprzez podanie pełnej klasyfikacji pierścieni z prawie zerowym mnożeniem ograniczonego wykładnika. W rozdziale trzecim podajemy pełną klasyfikację przemiennych, filialnych pierścieni zredukowanych dowodząc, że są to pewne podpierścienie produktu ciał liczb $p$-adycznych. Niezbędne przy tym okazuje się udowodnione przez nas twierdzenie, zgodnie z którym, każdy przemienny, filialny pierścień zredukowany jest ideałem w pewnym przemiennym, filialnym, zredukowanym pierścieniu z jedynką. W rozdziale czwartym przedstawiamy konstrukcję i własności ważnych przykładów pierścieni filialnych, tj. pierścieni Kruse i Andrijanowa. Podajemy tam również klasyfikacje pewnych ich rozszerzeń, które odegrają kluczową rolę w opisie filialnych, przemiennych pierścieni noetherowskich. Rozdział piąty zawiera wyniki dotyczące pierścieni filialnych o nietorsyjnym nil-radykale. W kolejnych dwóch rozdziałach przedstawiamy pełną klasyfikację przemiennych, torsyjnych pierścieni filialnych i przemiennych filialnych pierścieni noetherowskich. Ostatni, ósmy rozdział poświęcony jest problemowi dołączania jedynki do pierścienia filialnego. Dowodzimy tam, że nie każdy pierścień filialny jest ideałem w filialnym pierścieniu z jedynką, konstruując minimalny przykład takiego pierścienia. Jest odpowiedź na pytanie postawione, przez autora, na konferencji ,,Radicals of rings and related topics'' w Warszawie w 2009 roku.

In this work we consider only associative rings which we call simply rings.It is well known that the relation of being an ideal is not transitive in the class of all associative rings.The aim of the dissertation is to consider a number of issues connected with the rings in which the transitiveproperty does hold. These rings will be called filial. Our research is motivated, inter alia, by the papers of Kruse, Andrijanow and Puczyłowski.In the first chapter of dissertation, we recall and extend necessary informations about groups, rings and radical classes. In the second chapter of the thesis we present our results on filial $\beta$-radical rings. In particular we fulfill the gaps in the classification of $H$-rings (i.e. rings in which each subring is an ideal), given by Kruse and Andrijanow. Namely we give the classification of almost null rings with the bounded exponent of additive group. In the third chapter we give a full classification of commutative reduced filial rings by proving that they are some specific subrings of product of $p$-adic integers. It turned out that to show this it is necessary to use our theorem saying that every reduced filial ring is an ideal in a reduced filial ring with an identity. In the fourth chapter we present the construction and properties of important examples of filial rings i.e. Kruse and Andrijanow rings. Additionally we give some classification theorems for extensions of these ring, which play a central role in the description of the commutative filial noetherian rings. In the fifth chapter we collect our results concerning filial rings with non-torsion nil radical. In the next two chapters we present a full classification of commutative torsion filial rings and commutative noetherian filial rings. The last, eight chapter is devoted to a problem of adjoining an identity to a filial ring. In this section we prove that not every filial ring is an ideal in filial ring with an identity, by constructing a minimal example. This is the answer to the question posed by the author at the conference ,,Radicals of rings and related topics” in Warsaw, Poland in 2009.