Stochastic volatility in selected models of financial markets

Niniejsza praca dotyczy modeli rynków finansowych ze stochastyczą zmiennością (stochastic volatility models), czyli modeli, w których zmienność ceny akcji opisywana jest przez pewien proces stochastyczny. Powstały one jako odpowiedź na pewne sprzeczności modelu Blacka-Scholsa wynikające z założenia o stałej zmienności (jak np. obserwowany na rynku uśmiech zmienności). Pierwsza część pracy poświęcona jest modelowi Steina i Steina, w którym zmieność ceny akcji jest opisywana procesem Ornsteina-Uhlenbecka. Został on wprowadzony w 1991 roku, jednak wyniki Steina i Steina uzyskane zostały przy założeniu o nieskorelowaniu szumów rządzących ceną akcji i jej zmiennością. W pracy wyprowadzamy wzory na momenty oraz transformatę Mellina ceny akcji bez założenia o nieskorelowaniu szumów. Wzory te są następnie zastosowane do numerycznej wyceny różnych typów opcji. W drugiej części pracy rozważane są niejednorodne równania zmiany czasu dla łańcuchów Markowa, oraz ich zastosowanie w modelach zmienności stochastycznej, a ściślej mówiąc – w modelach przełącznikowych (regime-switching dif fusions). Pokazujemy istnienie i jednoznaczność rozwiązania równania zmiany czasu oraz badamy wpływ zmian czasu na markowską zgodność i struktury markowskie procesów. Najpierw opisujemy ów wpływ dla samych łańcuchów Markowa, a następnie badamy proces dyfuzji Itô ze zmienionym czasem (taki proces okazuje się być procesem przełącznikowym) i jego struktury markowskie. Rozdział ten jest zakończony prezentacją zastosowań zmiany czasu do wyceny opcji metodą Monte Carlo.

The thesis is focused on various stochastic volatility (SV) models in finance. Such models were introduced in order to overcome some of the drawbacks of the classical Black-Scholes model of the financial market. In the SV models we drop the assumption of constant volatility of the asset price, allowing it to be a stochastic process. The first part of the thesis is devoted to the Stein and Stein model, i.e. the model where the volatility is an Ornstein-Uhlenbeck process. It was first introduced in 1991, however the original results were derived under the assumption of uncorrelated noises driving the asset price and its volatility. In the thesis we relax this assumption. We establish closed-form formulas for the moments and the Mellin transform of the asset price. These quantities are then applied to numerical option pricing. In the second part we study inhomogeneous time change equations (TCEs) induced by Markov chains and their applications to stochastic volatility models, namely to regime-switching diffusions. We show the existence and uniqueness of solutions of the TCE and then we investigate the influence of the TCE on the Markov consistency property and Markov structures of processes. First we focus on the time-changed Markov chains, and then we apply the change of time to a diffusion process, obtaining a regime-switching process. We conclude this part by showing the application of the time change to Monte Carlo option pricing.