Kinetic theory and hydrodynamics of nearly-integrable gases

Całkowalne jednowymiarowe gazy kwantowe cieszą się dużym zainteresowaniem głównie z dwóch powodów: umożliwiają analityczny wgląd w silnie skorelowaną, nieperturbacyjną fizykę oraz są powszechnie realizowane w eksperymentach. W ostatnim czasie uwaga badaczy przesunęła się w stronę dynamiki nierównowagowej, co zostało spowodowane przez przełomy teoretyczne, takie jak uogólniony zespół Gibbsa (GGE) oraz uogólniona hydrodynamika (GHD).

Obecność czynników łamiących całkowalność w eksperymentach, takich jak zewnętrzne pułapkowanie czy dodatkowe oddziaływania dalekozasięgowe, wymaga jednak rozwoju metod perturbacyjnych do opisu dynamiki gazów prawie całkowalnych. Pułapkowanie zewnętrzne występuje w laboratoriach praktycznie zawsze, natomiast oddziaływania dalekozasięgowe są szczególnie widoczne w dipolowych gazach kwantowych pierwiastków o dużych magnetycznych momentach dipolowych, takich jak dysproz. Teoretyczny opis takich układów stanowi główny temat niniejszej rozprawy.

Głównym celem pracy było stworzenie ram teoretycznych dla zrozumienia dwóch klas zjawisk nierównowagowych w gazach niemal całkowalnych. Pierwsza klasa zagadnień dotyczy szeroko pojętej relaksacji i termalizacji. W kontekście gazów opis relaksacji opiera się zazwyczaj na teorii kinetycznej, której punktem wyjścia jest hierarchia BBGKY (Borna-Bogoliubowa-Greena-Kirkwooda-Yvona) dla funkcji korelacji. Hierarchia ta służy do wprowadzania dalszych przybliżeń i po obcięciu prowadzi do operatorów zderzeń, takich jak równania Boltzmanna czy Landaua, które wyznaczają skale czasowe relaksacji oraz punkty stałe dynamiki.

W dysertacji zaadaptowano strukturę typu BBGKY do układów prawie całkowalnych, co pozwoliło na jej efektywne obcięcie. Wyprowadzone w ten sposób równanie kinetyczne opisujące termalizację zostało pomyślnie zweryfikowane za pomocą symulacji numerycznych oraz danych doświadczalnych dotyczących szybkości termalizacji w gazach dipolowych. Ponieważ w eksperymentach gazy jednowymiarowe umieszcza się często w sieciach dwuwymiarowych, zbadano również łamanie całkowalności poprzez oddziaływania między dwiema tubami. W takim scenariuszu odkryto interesujące atermalne stany stacjonarne, których mechanizm wyjaśniono poprzez kinematykę rozpraszania dwucząstkowego w jednowymiarowych układach z symetrią Galileusza.

Druga część pracy poświęcona jest hydrodynamice gazów niemal całkowalnych, czyli efektywnej teorii dynamiki wyłaniającej się w dużych skalach czasoprzestrzennych. Struktura hydrodynamiki jest ściśle powiązana z występującymi w układzie prawami zachowania. Zestaw zachowanych ładunków zmienia się drastycznie po złamaniu całkowalności, co pociąga za sobą również fundamentalną zmianę hydrodynamiki.

Opierając się na strukturach GGE i GHD wykazano, że na dostatecznie dużych skalach czasoprzestrzennych klasa uniwersalności hydrodynamicznej gazów prawie całkowalnych zmienia się z GHD na jednowymiarową wersję równań Naviera-Stokesa (NS). Współczynniki transportu – lepkość oraz przewodnictwo cieplne – zostały obliczone w sposób jawny. Cel ten osiągnięto poprzez odpowiednie uogólnienie klasycznego wyprowadzenia hydrodynamiki NS z równania Boltzmanna przy użyciu rozwinięcia Chapmana-Enskoga (ChE). Logikę metody ChE zastosowano także do opisu układu dwutubowego wykazującego stany atermalne, gdzie niespodziewanie odkryto równanie Burgersa w wielkoskalowej dynamice gęstości.

Na koniec rozważono problem transportu anomalnego w jednowymiarowych gazach niecałkowalnych. Wykorzystując nieliniową fluktuującą hydrodynamikę, czyli ugruntowaną metodę w tej dziedzinie, znaleziono mechanizm prowadzący do tłumienia anomalii transportowych wraz z odwrotnością parametru łamania całkowalności. Sformułowano także ogólne przewidywanie, według którego gazy prawie całkowalne charakteryzują się trzema różnymi klasami uniwersalności hydrodynamiki, ujawniającymi się w różnych reżimach czasoprzestrzennych.

Integrable one-dimensional quantum gases have attracted significant attention. One could argue that this has happened for two primary reasons: analytical access to strongly correlated, non-perturbative physics and the availability of numerous experimental realizations. Recently, the field has shifted toward non-equilibrium dynamics, driven by theoretical breakthroughs such as generalized Gibbs ensemble (GGE) and generalized hydrodynamics (GHD).

The presence of integrability-breaking effects in experiments, such as external trapping or additional long-range interactions, calls for the development of perturbative techniques to tackle the dynamics of nearly-integrable gases. The external trapping occurs generically in the experiments, while the long-range interactions are especially prominent in dipolar quantum gases of elements with large magnetic dipole moments, such as dysprosium. The theoretical treatment of such systems is the main topic of this thesis.

The general goal was to provide a framework for understanding of two classes of non-equilibrium phenomena in nearly-integrable gases. The first class of problems which we tackle is related to thermalization or relaxation more broadly. In the context of gases, the description of relaxation is typically provided by kinetic theory, with the cornerstone being the BBGKY (Born-Bogoliubov-Green-Kirkwood-Yvon) hierarchy for correlation functions. The hierarchy is the starting point for further approximations and upon truncation, leads to collision operators such as the Boltzmann or Landau equations. Such collision kernels provide the time scales for relaxation and the fixed points of the dynamics.

In this thesis, a BBGKY-like framework was adapted to nearly-integrable systems. The resulting hierarchy can be efficiently truncated. A kinetic equation describing thermalization was derived and successfully tested against numerical simulations and experimental data for thermalization rates in dipolar gas experiments. The geometry of such experiments, in which 1D gases are placed in a 2D lattice, motivated the study of integrability breaking through interactions between two tubes. In such a scenario, interesting athermal stationary states were found, and an understanding through the kinematics of two-body scattering in 1D Galilean systems was proposed.

The second part of this contribution is related to the hydrodynamics of nearly-integrable gases, that is the effective theory of dynamics emerging at large spatiotemporal scales. The structure of hydrodynamics is intimately tied to the conservation laws present in the system. The set of conserved charges changes drastically upon integrability breaking, and so does the hydrodynamics.

Building on the frameworks of the GGE and GHD, we have shown that at sufficiently large space-time scales, the hydrodynamic universality class of nearly-integrable gases changes from GHD to a one-dimensional version of the Navier-Stokes (NS) equations. Transport coefficients -- viscosity and thermal conductivity were computed explicitly. This goal was achieved by a suitable generalization of the classic derivation of NS hydrodynamics from the Boltzmann equation through the Chapman-Enskog (ChE) expansion. The logic of the ChE method was applied also to a two-tube system, where athermal states were found. Surprisingly, the Burgers equation was uncovered there in the large scale dynamics of the density.

Finally, we considered the problem of anomalous transport in 1D non-integrable gases. Using nonlinear fluctuating hydrodynamics, the well-established framework to tackle problems in this field, we found a mechanism leading to the suppression (with the inverse of the integrability breaking parameter) of anomalies in transport. We formulated a general prediction that nearly-integrable gases are characterized by three different hydrodynamic universality classes, which occur in different space-time regimes.