Rozwiązania równań Einsteina w czasoprzestrzeniach o wymiarze większym niż 4

Celem pracy było poszukiwanie nowych, fizycznie interesujących rozwiązaą równań Einsteina dla wymiarów D>4. Głównym rezultatem jest otrzymanie rodziny metryk będącej uogólnieniem rozwiązania Grossa-Perry'ego. Rozdział 1 zawiera krótkie wprowadzenie do zagadnień wielowymiarowych równań Einsteina. Opisane są znane ścisłe rozwiązania równań, ze szczególnym uwzględnieniem metryk sferycznie symetrycznych, w tym metryki Grossa-Perry'ego, będącej punktem wyjścia do rozważań w rozdziale 3. Omówione są również zagadnienia istotne z punktu widzenia pracy, takie jak klasyfikacja algebraiczna metryk wielowymiarowych. W rozdziale 2 zaprezentowana jest nowa metoda rozwiązywania równań Einsteina w czasoprzestrzeni o wymiarze N + n + 1 przy założeniu symetrii SO(n + 1). Najpierw (N+n+1)- wymiarowe równania Einsteina ze stałą kosmologiczną zredukowane zostają do równań (N+1)-wymiarowych z polem skalarnym o odpowiednim potencjale. Następnie, po wprowadzeniu dodatkowych założeń odnośnie pola skalarnego oraz tensora Einsteina w podprzestrzeni N-wymiarowej, dokonana jest dalsza redukcja równań prowadząca ostatecznie do przejrzystej procedury pozwalającej na otrzymanie rozwiązań. Kolejne kroki procedury przedstawione są w podsumowaniu do rozdziału 2. Rozdział 3 poświęcony jest rozwiązywaniu warunków określonych w rozdziale 2 W podrozdziale 3.2 otrzymane są w ten sposób metryki z klasy Kasnera oraz z uogólnionej do wielu wymiarów klasy Kundta. Podrozdział 3.3 zawiera wyprowadzenie oraz opis rodziny rozwiązań, która jest uogólnieniem rozwiązania Grossa-Perry'ego do większej liczby wymiarów. W ramach tej rodziny rozwiązań wyróżnione są trzy klasy różni¡ce się nieco własnościami. Dla każdej z nich zbadane zostały własności takie jak rodzaj symetrii, osobliwości, asymptotyka oraz typ algebraiczny określony według procedury Coley'a, Milsona, Pravdy i Pravdova. Ich cechę wspólną jest m.in. zachowanie w nieskończoności oraz istnienie osobliwości. Jedna z klas zawiera w ogólności metryki algebraicznie specjalne, natomiast generyczne rozwiązania z pozostałych klas są typu I w klasyfikacji CMPP. W rozdziale 4 rodzina rozwiązań znaleziona w rodziale 3 rozważana jest w kontekście metody generowania nowych rozwiązań opartej na istnieniu ukrytej symetrii SL(3;R), opisanej przez Maisona. Po krótkim opisie metody następuje omówienie metryk, które można w ten sposób otrzymać, ich własności oraz możliwe zastosowania. The goal of the thesis was to search for a new solutions and solutions generating techniques so those methods could be used further to enhance research on many- dimensional bran models. The first chapter of the thesis is a review of the current state of knowledge in the field of higher dimensional Einstein equations. Known exact solutions of the equations are discussed, with a special emphasis on spherically symmetric solutions such as a Gross-Perry metric. This chapter presents also the algebraic classification of the higher dimensional metrics developed by Coley, Milson, Pravda and Pravdowa. In the second chapter a new method of solving (N+n+1)-dimensional Einstein equations with SO(n+1) symmetry is presented. The method is divided into two steps. First step is reducing (N+n+1)-dimensional Einstein equations with the cosmological constant to the (N+1)-dimensional Einstein equations with the scalar field of a special form of the potential. Then in the second step, after introducing additional assumptions about the scalar field and the N-dimensional Einstein tensor, further reduction of the equations is performed. This results in a clear procedure of generating new solutions based on finding N-dimensional metric, tensor and three functions of one variable, satisfying some special conditions. The third chapter is devoted to finding new solutions of the Einstein equation using method presented earlier. Some examples of metrics that belongs to Kasner's class or generalized to higher dimensions Kundt's class were obtained. As a main result of the thesis a class of solutions was calculated generalizing Goss-Perry metric to higher dimensions This class consists of three subclasses with different geometrical properties, some of them are algebraically special. All metrics in the class are asymptotically flat on some section, therefore they can turn out to be useful from the braneworld models point of view. In the fourth chapter the obtained metrics are examined in the context of hidden symmetry transformations which can lead to further new solutions. It occurred that the transformation allows to find metrics with richer structure from a point of view of the Kaluza-Klein theory.