Różniczkowalność rozwiązań zaburzonego równania transportu

Niniejsza rozprawa dotyczy równania transportu w przestrzeni skończonych miar Radona M(Rd). Oznacza to, że zarówno warunek początkowy µ0, jak i rozwiązanie µt przyjmują wartości w tej właśnie przestrzeni. Rozważane jest zaburzenie współczynników (równania liniowego jak i nieliniowego) i badana różniczkowalność rozwiązań względem parametru zaburzającego. Okazuje się, że różniczkowalności nie można uzyskać przy założeniach dotychczas stosowanych w literaturze. Jednakże wzmacniając założenia na współczynniki równania, można wykazać, że pochodna takiego rozwiązania jest elementem pewnej przestrzeni Banacha – przestrzeni predualnej do przestrzeni Höldera C1+α(Rd) (funkcje ograniczone, których pierwsze pochodne są ograniczone i hölderowsko ciągłe z wykładnikiem α ∈ (0, 1]). Wynik dotyczący różniczkowalności rozwiązań względem parametru jest szczególnie ważny z punktu widzenia teorii optymalizacji i modeli populacji ze strukturą – oba zastosowania są również omówione w rozprawie.

This dissertation concerns the transport equation in the space of bounded Radon measures, denoted by M(Rd). This means that both the initial condition µ0 and the solution t 7→ µt range over this space. A perturbation of the coefficients (in linear and non-linear equation) and the derivative of solutions with respect to the perturbing parameter are considered. It turns out that employing assumptions previously used in the literature, the differentiability cannot be obtained. However, when assumptions on coefficients are strengthened, it can be shown that the derivative of such a solution is an element of a proper Banach space – the space predual to the Hölder C1+α(Rd) space (bounded functions whose first derivatives are bounded and Hölder continuous with the power α ∈ (0, 1]). This result is particularly important from the optimization theory point of view and in structured population models – both applications are discussed in the dissertation.