Parabolic equations with very singular nonlinear diffusion

Niniejsza rozprawa stanowi zbiór kilku wyników dotyczących analizy rozwiązań quasiliniowych parabolicznych równań różniczkowych cząstkowych z bardzo singularną dyfuzją. To określenie oznacza, że współczynnik dyfuzji jest rzędu |∇u| −1 , przynajmniej w okolicy regionów, gdzie ∇u = 0 (tu u oznacza niewiadomą w równaniu). Typowym przykładem jest potok gradientowy całkowitego wahania. W Rozdziale 1 zapoznajemy czytelnika z równaniami parabolicznymi z bardzo singularną dyfuzją. Omawiamy typowe własności ich rozwiązań na przykładzie skalarnego, 1-wymiarowego potoku całkowitego wahania. Następnie przedstawiamy nowe wyniki, których dowody znajdują się w kolejnych rozdziałach. W Rozdziale 2 rozważamy ortotropowy potok całkowitego wahania na prostokącie i dowodzimy, że klasa funkcji kawałkami stałych na kratowych prostokątach (PCR) jest przez niego zachowywana. W konsekwencji, potok jest w tym przypadku wyznaczony przez skończony algorytm. Przy użyciu tego wyniku oraz gęstości funkcji PCR, pokazujemy, że potok zachowuje ciągłość. Gdy dziedzina nie jest wypukła, nie musi tak być. Następnie badamy modelowe bardzo singularne równanie ze współczynnikiem dyfuzji równym 1 + α 2|ux| , α > 0 (w jednym wymiarze przestrzennym). Wykazujemy, że dziedzina może być rozłożona na ewoluujące odcinki, na których rozwiązanie jest stałe (fasety), oraz pozostały obszar, gdzie rozwiązanie spełnia równanie ciepła. Dowodzimy pewnych własności regularnościowych faset. W Rozdziale 4 rozważamy potok całkowitego wahania o wartościach wektorowych na odcinku. Dla rozwiązania u z warunkiem początkowym u0 o wahaniu skończonym wykazujemy, że |ux| ≤ |u0,x| w sensie miar. To oszacowanie uogólnia kilka wyników znanych w przypadku skalarnym. W ostatnim rozdziale wykazujemy lokalne dobre postawienie dla potoku 1-harmonicznego, tj. potoku całkowitego wahania przekształceń w zupełną rozmaitość riemannowską, w klasie przekształceń lipschitzowskich na wypukłej dziedzinie. Zakładamy, że dana rozmaitość jest domkniętą podrozmaitością w przestrzeni euklidesowej, albo że ma niedodatnią krzywiznę przekrojową. Podajemy pewne warunki na globalne istnienie potoku. Pokazujemy analogiczne wyniki w przypadku, gdy dziedzina jest zwartą, orientowalną rozmaitością riemannowską. Na koniec rozwiązujemy problem homotopii dla przekształceń 1-harmonicznych przy pewnych założeniach.

This dissertation is a collection of several results in mathematical analysis of solutions to quasilinear parabolic partial differential equations with very singular diffusion. By this, we mean that the diffusivity is of order |∇u| −1 , at least near regions where ∇u = 0 (here u is the unknown in the equation). A model example is the total variation gradient flow. In Chapter 1, we introduce the reader to parabolic equations with very singular diffusion. We present typical features of their solutions on the example of scalar, 1-dimensional total variation flow. Then, we state new results whose demonstrations are contained in the following chapters. In Chapter 2, we consider the orthotropic total variation flow on a rectangle and prove that the class of functions piecewise constant on grid rectangles (PCR) is preserved by the flow. Consequently, the flow in this case is determined by a finite algorithm. Using this knowledge and density of PCR functions, we show that the flow preserves continuity. This is not necessarily the case if the domain is not convex. Next, we investigate a model very singular equation with diffusivity equal to 1+ α 2|ux| , α > 0 (in one spatial dimension). We show that the domain can be decomposed into evolving intervals where the solution is constant (facets) and the remaining region, where the solution satisfies the heat equation. We establish some continuity properties of facets. In Chapter 4, we consider the vector-valued total variation flow on an interval. Given the solution u with initial datum u0 of bounded variation, we show that |ux| ≤ |u0,x| in the sense of measures. This estimate provides a generalization of several results known in the scalar-valued case. In the last chapter, we establish local well-posedness for 1-harmonic flow, i. e. the gradient flow of total variation energy of maps into a complete Riemannian manifold, in the class of Lipschitz maps on a convex domain. We assume either that the target manifold is a closed submanifold in R N , or that it has non-positive sectional curvature. We single out some conditions for global existence of the flow. We show analogous results in the case where the domain is a compact, orientable Riemannian manifold. Finally, we solve the homotopy problem for 1-harmonic maps under some assumptions.