Equivariant Khovanov homotopy types

Homologie Khovanova zostały wprowadzone jako kategoryfikacja wielomianu Jonesa. Z użyciem kategorii spływowych, Lipshitz-Sarkar zdefiniowali spektra przestrzeni topologicznych ("spektra Khovanova"), których homologie równają się homologiom Khovanova; stabilny typ homotopijny tych spektrów jest niezmiennikiem splotów. Konstrukcja spektrów Khovanova jest realizowana w oparciu o kostkę rezolwent diagramu danego splotu. W przypadku splotów periodycznych, można zdefiniować działania grupy na spektrach Khovanova, które stają się ekwiwariantnymi spektrami. Głównym celem tej pracy jest udowodnienie równoważności dwóch takich konstrukcji: jednej opartej na ekwiwariantnych kategoriach spływowych, drugiej używających pojęcia działania zewnętrznego na diagramie homotopijnie koherentnym. Pierwsze rozdziały pracy służą wprowadzeniu tych dwóch pojęć w sposób korzystny dla sformułowania ich równoważności. Opisując diagramy homotopijnie koherentne, skupiamy się na konstrukcji ich realizacji przez kogranice po przestrzeniach morfizmów nerwu homotopijnie koherentnego. Działania zewnętrzne na tych diagramach odpowiadają wtedy rodzinom homomorfizmów, zgodnym z działaniem grupy na kategorii indeksującej, i indukują działanie grupy na wybranych realizacjach. Z drugiej strony, pokazujemy, jak przestrzenie moduli w ekwiwariantnej kostkowej kategorii spływowej powstają jako te same przestrzenie morfizmów nerwu homotopijnie koherentnego dla działania grupy na kostce $\{0, 1\}^n$. W dalszej kolejności omawiamy funktory Burnside'a i ich realizacje geometryczne przez diagramy homotopijnie koherentne. Procedurę realizacji definiujemy przez wersję kolapsu Pontrjagina-Thoma dla zbiorów gwieździstych. Porównujemy pojęcia ekwiwariantnej kategorii kostkowej oraz dwóch różnych definicji pojęcia działania zewnętrznego na funktorze Burnside'a, dowodząc równoważności wszystkich trzech. Wreszcie pokazujemy, że odpowiadające realizacje geometryczne tych obiektów również definiują ekwiwariantnie stabilnie homotopijnie równoważne spektra. W ostatniej części pracy przywołujemy motywujący nas przypadek spektrów Khovanova splotów periodycznych i wyciągamy wniosek o równoważności dwóch występujących w literaturze definicji tych spektrów.

Khovanov homology was introduced by Khovanov as a categorification of the Jones polynomial. Using flow categories, Lipshitz and Sarkar refined Khovanov homology by defining spectra of topological spaces, whose homology equals the Khovanov homology; the stable homotopy type of such a spectrum is a link invariant. The construction of those "Khovanov spectra" can be described using the Kauffman cube of resolutions. In the case of periodic links, a group action can be defined on Khovanov spectra, which are thus equipped with the structure of equivariant spectra of spaces. This can be done in a few ways, which need not be equivalent in principle. The aim of this work is to prove that two such constructions, one introduced by Borodzik-Politarczyk-Silvero and using equivariant cubical flow categories, the other defined by Stoffregen-Zhang by way of external actions on homotopy coherent diagrams, yield equivariantly stably homotopy equivalent spectra. The first chapters of the thesis serve to introduce the underlying notions of the two constructions. In our account of homotopy coherent diagrams, we invoke the homotopy coherent nerve to fix a realization of the homotopy colimit; Stoffregen-Zhang's external actions are seen as families of homomorphisms, inducing group actions on those realizations. On the other hand, we note that moduli spaces in cubical flow categories arise as morphism spaces in the homotopy coherent nerve of the cube $\{0, 1\}^n$. Following that, we give an account of Burnside functors and their realizations by way of homotopy coherent diagrams. The latter are defined using a version of a Pontrjagin-Thom collapse map for star-shaped spaces. We compare the notion of equivariant cubical flow category and two notions of external action on a Burnside diagram (Stoffregen-Zhang's and Musyt's, respectively), and we prove that the three are equivalent. Finally, we extend the previous arguments and show that equivariant stable homotopy equivalences arise on the level of geometric realizations of the two constructions. In the final part of the thesis, we invoke the motivating case of Khovanov spectra of periodic links. We apply the previouos results to show that the Borodzik-Politarczyk-Silvero and Stoffregen-Zhang equivariant spectra of periodic links are equivalent.