Functional limit theorems related to particle systems

Praca bada funkcjonalne twierdzenia graniczne związane z układami niezależnie poruszających się cząstek z dołączonymi wagami. Wiele procesów samopodobnych ze stacjonarnymi przyrostami można otrzymać jako obiekty graniczne przeskalowanych (czasowo lub przestrzennie) funkcjonałów tychże układów cząstek. Dotyczy to przykładowo ułamkowego ruchu Browna, procesu Rosenblatta i sporej liczby procesów o ciężko-ogonowych rozkładach brzegowych. Pierwsza część pracy skupia się na stworzeniu cząsteczkowej interpretacji asymetrycznego procesu Rosenblatta i procesów Hermite’a dowolnego rzędu. Jako narzędzia użyte są tu czasy lokalne samoprzecięć trajektorii cząstek. Druga część pracy dotyczy badania sytuacji, w której wagi dołączone do cząstek mają rozkłady o ciężkich ogonach. Otrzymane procesy graniczne odpowiadają nowym klasom stabilnych procesów samopodobnych wprowadzonych niedawno przez Samorodnitsky’ego i in. Ostatnia część pracy poświęcona jest dykretnym modelom błądzenia losowego w losowym środowisku. W części tej, dodając dodatkowe źródło losowości, jesteśmy w stanie otrzymać naturalnie wyglądający model w którym procesy graniczne należą do klasy stabilnych procesów samopodobnych, która dotąd (wogólności) została wprowadzona tylko w abstrakcyjny sposób.

This thesis investigates functional limits of functionals related to systems of independently moving particles with weights/charges. A very large class of selfsimilar processes with stationary increments can be obtained as a scaling limit (spatial or temporal) of such systems, including fractional Brownian motion, the Rosenblatt process and an increasing number of processes with heavy-tailed finite-dimensional distributions. The first part of the thesis establishes a particle picture interpretation for the asymmetric Rosenblatt processes and Hermite process of any order by considering functionals of intersection local times of the moving particles. The second part is concerned with studying the behaviour of such systems when the weights attached to the particles have heavy-tailed distributions. The processes obtained as scaling limits correspond to a new class of stable H-sssi processes introduced recently by Samorodnitsky, et al. The last part considers a discrete framework of random walks in random scenery. Therein, by introducing additional randomness, we are able to provide a natural way in which a certain class of stable H-sssi processes can be obtained, This is especially important, given that the aforementioned class was, in general, previously representable only in an abstract way.