Additive problems in abelian groups

Praca prezentuje kilka wyników dotyczących addytywnych właściwości skończonych zbiorów w grupach przemiennych. Obiektem naszego szczególnego zainteresowania będą zwłaszcza zbiory sum (ang. sumsets) określone dla podzbiorów A,B dowolnej grupy przemiennej jako A+B={a+b:a\in A,b\in B}. Rozważane zagadnienia są dwojakiego rodzaju. Jedne stanowią rodzaj strukturalnej teorii arytmetyki zbiorów i za cel stawiają sobie możliwie dokładną charakteryzację zbiorów określonych poprzez pewne ekstremalne własności. W naszym wypadku będą to zbiory o niewielkim współczynniku podwojenia (ang. doubling), który jest zdefiniowany dla dowolnego skończonego podzbioru A grupy przemiennej jako K(A)=|A+A|/|A|. W związku z tym zagadnieniem badamy twierdzenie Greena-Ruzsy, które niemal całkowicie charakteryzuje zbiory o niewielkim współczynniku podwojenia. W szczególności, dowodzimy pierwszego liniowego ograniczenia na wymiar ciągu w tym twierdzeniu. Drugim obszarem naszego zainteresowania jest analiza równań liniowych w grupach przemiennych, a celem określenie warunków istnienia (nietrywialnych) rozwiązań tych równań lub oszacowanie liczby tych rozwiązań. W pracy dowodzimy pierwszego wolno rosnącego górnego ograniczenia na wielkość liczb typu Ramseya związanych z ogólnymi równaniami liniowymi. Przedstawiamy również dowód hipotezy Schinzla, związanej z liczbą rozwiązań równań liniowych w grupach cyklicznych.

In this thesis we shall present some results concerning additive properties of finite sets in abelian groups. It will be of primary importance to us to consider the sumsets A+B={a+b:a\in A,b\in B} for subsets A,B of an abelian group. The problems considered are of two general flavors. One is a kind of a structure theory of set addition that is primarily concerned with identifying sets characterized by some extremal properties, e.g. small doubling. The doubling is defined, for any finite subset A of an abelian group, to be |A+A|/|A|. In this respect we investigate the Green-Ruzsa theorem which almost completely characterizes sets with this property. In particular, we prove the first linear bound on the dimension of the resulting progression. The other subject of our interest is analysis of linear equations: finding quantitative conditions on solvability of non-invariant equations and counting the solutions thereof. In this regard we prove the first tight upper bounds on Ramsey-type numbers for general linear equations and prove Schinzel's conjecture on the number of solutions to a linear equation in cyclic groups.