Fundamental problems to equations of compressible chemically reacting flows

Niniejsza rozprawa poświęcona jest analizie matematycznej przepływów chemicznie reagujących mieszanin ściśliwych. Badamy istnienie słabych rozwiązań dla układu równań Naviera-Stokesa uzupełnionego równaniami reakcji-dyfuzji poszczególnych składników. Skupiamy się na opisie reakcji odwracalnych i równaniu stanu uwzględniającym skład chemiczny mieszaniny. W pierwszej kolejności rozważamy izotermiczny przepływ stacjonarny z diagonalną, liniową dyfuzją. Jednak bezpośrednia próba przeniesienia tego wyniku na przypadek płynów przewodzących ciepło prowadzi do sprzeczności z drugą zasadą termodynamiki. Aby tego uniknąć, konieczne jest wprowadzenie bardziej ogólnej postaci strumienia dyfuzji składników, tzw. dyfuzji wieloskładnikowej. W rezultacie, mamy do czynienia z nowym rodzajem degeneracji w równaniach bilansu masowego składników, który nie pozwala na wykorzystanie standardowych technik renormalizacyjnych. Rozwiązujemy ten problem poprzez zastosowanie zmiennych entropijnych, dzięki którym udaje się uzyskać podstawowe oszacowanie a-priori. Kolejnym ważnym aspektem analizowanego modelu jest zerowanie się lepkości w obszarach próżni. Przyjęcie, że współczynniki lepkości są funkcjami gęstości spełniającymi odpowiednią relację pozwala na uzyskanie wyższej regularności gęstości, koniecznej do zdefiniowania pojęcia słabego rozwiązania. Przy tym założeniu pokazujemy ciągową stabilność słabych rozwiązań dla równań przepływu dwuskładnikowej mieszaniny z ogólną dyfuzją. Dla dodatkowej modyfikacji ciśnienia barotropowego w okolicach próżni przedstawiamy kompletny dowód istnienia słabych rozwiązań oraz dowodzimy ciągowej stabilności słabych wariacyjnych rozwiązań entropijnych dla przewodzącej ciepło mieszaniny dowolnie wielu chemicznie reagujących gazów.

The following thesis is dedicated to the mathematical analysis of a model governing the flow of chemically reacting compressible mixtures. We investigate the existence of weak solutions to the Navier-Stokes system supplemented by the reaction-diffusion equations for the species. We put particular emphasis on the reversible reactions and the state equation which depends on the chemical composition of the mixture. In the first approach, we consider the isothermal steady flow with diagonal, linear diffusion. However, a direct attempt to generalize this result for the case of heat-conducting fluids leads to inconsistency with the second law of thermodynamics. To avoid this discrepancy, the more complex form of the species diffusion flux, the so called multicomponent diffusion, has to be considered. As a result, a new type of degeneration in the species mass balance equations arises, which cannot be handled using the standard renormal- ization techniques. We solve this problem by introducing the entropy variables which make it possible to derive the basic a-priori estimate. The next important aspect of the studied model is vanishing viscosity at the vacuum states. Postulating particular form of the viscosity coefficients enables to obtain higher regularity of the density, necessary to define the notion of the weak solution. Under this assumption we show sequential stability of weak solutions to the flow of two-component mixture with the multicomponent diffusion. Further, for an additional modifica- tion of the barotropic pressure in the neighborhood of small densities, we present the complete existence result and prove the sequential stability of weak variational entropy solutions to the flow of heat-conducting mixture of arbitrary large number of reacting species.