Determination of the properties of the nitride laser diodes and light-emitting diodes by simulation based on the drift-diffusion model with the Discontinuous Galerkin Method

W niniejszej pracy omówione zostały numeryczne symulacje urządzeń półprzewodnikowych wykonywane za pomocą modelu dryfowo-dyfuzyjnego. Model ten składa się z trzech nieliniowych eliptycznych równań różniczkowych znanych jako równania van Roosbroecka. Rozważane są dwa warianty dyskretyzacji tego układu, wykorzystujące Złożoną Nieciągłą Metodę Galerkina, które bazują na symetrycznej wersji Nieciągłej Metody Galerkina (ang. Symmetric Interior Penalty Galerkin method) oraz wersji symetrycznej o zwiększonych wyrazach kary (ang. Weakly Over-Penalized Symmetric Interior Penalty method). Te metody są omawiane w kontekście symulacji świecących urządzeń półprzewodnikowych opartych o azotek galu oraz jego związki i uwzględniają problem niższej stabilności rozwiązań na granicach materiałów. W pracy wykazano, że w przypadku stanu równowagowego problemy dyskretne są dobrze postawione. Wyprowadzone zostały także oszacowania błędu rozwiązania problemów dyskretnych dla kawałkami liniowych funkcji dyskretnych w jednym i w dwóch wymiarach. Oszacowania te zostały skonfrontowane z rezultatami symulacji numerycznych, które zostały przeprowadzone dla realnych struktur półprzewodnikowych, jak i w przypadkach abstrakcyjnych, w przypadku równowagowym i nierównowagowym.Zostało pokazane także zastosowanie omawianych metod do znajdowania własności fizycznych świecących struktur półprzewodnikowych. W tym celu opracowana została linearyzacja zdyskretyzowanych równań van Roosbroecka, oparta o metodę Newtona oraz metodę Picarda. Opracowany został także program, który stosuje omawiane dyskretyzacje i metodę linearyzacji. Ponieważ zjawiska fizyczne dotyczące działania diod laserowych oraz diod elektroluminescencyjnych nie są do końca zrozumiane, opracowany program pozwala na wprowadzanie zmian do zaimplementowanego modelu różniczkowego. Przykłady takich modyfikacji oraz ich wpływ są również zademonstrowane.

In this dissertation we discuss numerical simulations of semiconductor devices with the drift-diffusion model. This model consists of three nonlinear elliptic differential equations known as van Roosbroeck equations. We consider two variants of discretization of this system with the Composite Discontinuous Galerkin Method, based on Symmetric Interior Penalty Galerkin method and on Weakly Over-Penalized Symmetric Interior Penalty method. We discuss these methods in context of simulations of luminescent devices based on gallium nitride and its mixed compounds. The proposed methods account for lower regularity of solutions on the interfaces between layers of different materials. It is shown that for in the equilibrium state regime the discrete problems are well posed and error estimates for the piecewise-linear finite element spaces in one- and two-dimensional domains are derived. These error bounds are then verified against results of numerical simulations, which covered both abstract settings and real semiconductor structures, in equilibrium and non-equilibrium state.It is also demonstrated that these methods may be used in determination of physical properties of the luminescent devices. For this purpose, a linearization of the discretized van Roosbroeck equations based on the Newton method and Picard method was developed. Then the numerical code was developed, which makes use of these discretizations and the linearization. Since the physical phenomena related to operation of the gallium nitride laser diodes and light-emitting diodes are not fully understood, our application allows for modification of the underlying differential model to some extent. Examples of such modifications and their effects are presented.