Martingale methods in selected topics of harmonic analysis

Celem niniejszej rozprawy jest zilustrowanie wybranych związków i zależności pomiędzy teorią martyngałów a analizą harmoniczną. Ściślej, będziemy badać pewne nierówności martyngałowe, motywacją dla których są naturalne pytania pojawiające się w teorii mnożników Fouriera i analizie Fourierowskiej na okręgu jednostkowym. Położymy szczególny nacisk na optymalność stałych występujących w badanych nierównościach, co ma istotne zastosowania w różnych dziedzinach analizy; przykładowo, wspomniana optymalność często prowadzi do wyznaczenia norm pewnych specjalnych operatorów, co z kolei ma znaczenie w teorii równań różniczkowych i aproksymacji. Należy podkreślić, że główny wkład pracy ma probabilistyczny charakter. W rozważaniach poniżej, zasadnicza trudność będzie spoczywać na dowodach odpowiednich nierówności dla martyngałów, natomiast składnik analityczny będzie raczej pełnił rolę ciekawej motywacji (zastosowania). Rozprawa składa się z pięciu rozdziałów, poświęconych następującym zagadnieniom. Rozdział 1 ma charakter wprowadzenia i zawiera niezbędne definicje, które będą przydatne w dalszej części pracy. W szczególności, znajdują się tam podstawowe informacje na temat teorii martyngałów oraz teorii mnożników Fourierowskich (zarówno w kontekście euklidesowym, jak i nieeuklidesowym), jak również proste fakty z analizy harmonicznej na okręgu jednostkowym. Rozdział 2 poświęcony jest alternatywnemu dowodowi oszacowania w L^p dla martyngałów spełniających warunek silnej dominacji. Pierwotnie wynik ten został uzyskany przez Burkholdera w latach osiemdziesiątych, w pracy prezentujemy pewne nowe, dualne podejście do tego problemu. Przedstawiamy również podstawowe zastosowania uzyskanego wyniku: oszacowanie typu Littlewooda-Paleya oraz nierówności w L^p dla transformat Riesza na grupach Liego i sferach. Rozdział jest oparty na wynikach ze wspólnego artykułu z R. Bañuelosem i A. Osękowskim. Rozdział 3 zawiera znaczące uogólnienie optymalnego oszacowania silnego i słabego typu dla transformat martyngałowych i całek stochastycznych. Wzmocnienie polega na tym, że porzucamy założenie o ograniczoności ciągu transformującego (funkcji podcałkowej), które zazwyczaj widnieje w pokrewnych rezultatach w literaturze. Zamiast tego dopuszczamy, aby powyższy ciąg (funkcja) należał do przestrzeni L^r; w konsekwencji, transformata (całka stochastyczna) okazuje się być ograniczona jako operator działający z przestrzeni L^q do przestrzeni L^p, gdzie 1/p = 1/q + 1/r. Głównym rezultatem tego rozdziału jest zidentyfikowanie dokładnej normy tego operatora, wraz z jego wersją dla słabych przestrzeni L^p. Wynik pochodzi ze wspólnej pracy z A. Osękowskim. Rozdział 4 dotyczy optymalnej nierówności słabego typu dla okresowej transformaty Hilberta, fundamentalnego operatora singularnego. Konstruujemy pewną nadharmoniczną funkcję na płaszczyźnie, która pozwala uzyskać interesujące oszacowania dla martyngałów spełniających warunek prostopadłości. Oszacowania te prowadzą do nierówności dla transformaty Hilberta, a wynik rozszerzamy na transformaty Riesza na zwartych grupach Liego. Rozdział jest oparty na wynikach ze wspólnego artykułu z A. Osękowskim. W ostatniej części pracy, Rozdziale 5, badamy nieco inny rodzaj problemu, wciąż używając metod martyngałowych. Opuszczamy kontekst mnożników Fouriera i skupiamy się na zespolonej analizie harmonicznej na okręgu jednostkowym. Zajmujemy się dualnością pomiędzy przestrzeniami H^1 oraz BMO, a dokładniej, identyfikujemy najlepszą stałą w nierówności Feffermana w przypadku konforemnym. Dowód opiera się na głębokich faktach z analizy zespolonej wielu zmiennych, które pozwalają skonstruować pewną specjalną funkcję plurinadharmoniczną - obiekt ten prowadzi do odpowiedniej nierówności dla martyngałów analitycznych. Wynik pochodzi ze wspólnej pracy z A. Osękowskim.

This thesis can be regarded as an illustration of the fruitful interplay between martingale theory and harmonic analysis. Specifically, we will be concerned with a number of martingale inequalities which are motivated by certain questions coming from the theory of Fourier multipliers and Fourier analysis on the unit disc. We will be particularly interested in obtaining the optimal values of the constants involved. Such extremal problems arise in various contexts in analysis, for example, when one tries to compute explicitly norms of some given operators, which, in turn, is often useful in the theory of PDEs and approximation. It should be emphasized that the main contribution of the thesis is of probabilistic nature. In our considerations below, the main difficulty will lie in the proofs of sharp inequalities for martingales. The analytic component will serve as an interesting and intriguing motivation and application. The dissertation consists of five chapters, which are devoted to the following topics. Chapter 1 has a preliminary character and it contains some background on the objects which will appear later in the text. In particular, the reader can find there some basic information on the martingale theory and some foundations of the theory of Fourier multipliers (both in the Euclidean and non-Euclidean setting), as well as some simple material from harmonic analysis on the unit circle. Chapter 2 is devoted to the alternative proof of the celebrated L^p-estimates for differentially subordinate martingales. This result was originally established by Burkholder in the eighties, our approach exploits a novel duality argument. In addition, we also present a number of basic applications: Littlewood-Paley-type estimates and L^p-inequalities for Riesz transforms on Lie groups and spheres. The material in this chapter was taken from the paper written jointly with R. Bañuelos and A. Osękowski. Chapter 3 contains the significant extension of sharp strong- and weak-type estimates for martingale transforms and stochastic integrals. The novelty comes from the fact that we drop the assumption of the boundedness of the transforming sequence (integrand), which is typically imposed in the literature. Instead, we allow it to belong to an L^r space; consequently, the martingale transform (stochastic integral) acts boundedly as an operator from L^q to L^p, where 1/p=1/q+1/r. The main result of Chapter 3 identifies explicitly the norm of this operator, along with its weak-type version. The contents is taken from the joint work with A. Osękowski. Chapter 4 is concerned with the sharp weak-type estimate for the periodic Hilbert transform, a fundamental singular integral operator. To accomplish this, we construct a certain special superharmonic function on the plane, which yields an interesting estimate for martingales satisfying the orthogonality condition. This inequality leads directly to the estimate for the Hilbert transform, it is also shown to produce the corresponding result for Riesz transforms on compact Lie groups. The material from this chapter comes from the joint work with A. Osękowski. Chapter 5 is the final part of the paper and concerns a slightly different type of problem which, however, will also be solved with the use of martingale methods. We leave the context of Fourier multipliers and move towards complex harmonic analysis on the unit circle. We will be interested in the quantitative version of H^1-BMO duality; more precisely, we will compute the best constant in Fefferman's inequality in the conformal setting. The proof will exploit several deep facts coming from the complex analysis of several variables. This will allow us to construct a certain special plurisuperharmonic function, which, in turn, will furnish an appropriate sharp estimate for analytic martingales. The contents of the chapter is taken from the joint work with A. Osękowski.