DG Categories and Derived Categories of Coherent Sheaves

Tematem tej pracy są kategorie pochodne snopów koherentnych na gładkich rozmaitościach rzutowych oraz ich zachowanie przy mor fizmach biwymiernych. W pracy opisujemy ograniczoną kategorię pochodną snopów koherentnych D(X) na gładkiej rozmaitości rzutowej X, gdy na X istnieje pełna wyjątkowa kolekcja . Dowodzimy, że w tym przypadku kategoria D(X) jest równoważna kategorii homotopii DG modułów nad pewną skończenie wymiarową, skierowaną DG kategorią C . Następnie przedstawiamy trzy metody pozwalające na obliczenie DG kategorii C . Pierwsza z nich bazuje na mutacji danej kolekcji do silnej czyli takiej, w której wszystkie wyższe grupy Ext są zerowe. Druga opiera się na iloczynach Massey'a oraz języku A-niskończoność-kategorii. Używa ona faktu, że DG kategoria C może być obliczona przy pomocy struktury A-nieskończoność-algebry na algebrze endomor fizmów obiektów wyjątkowej kolekcji . Dowodzimy, że wartość wyższego mnożenia w tej A-nieskończoność-algebrze jest, z dokładnością do znaku, wyznaczona przez n-krotny iloczyn Massey'a, jeżeli tylko ten zbiór jest niepusty. Trzecia metoda wykorzystuje uniwersalne rozszerzenia. Metoda ta pozwala na obliczenie DG kategorii C dla kolekcji, w której znikają grupy Ext 2(Ti; Tj). Z takiej kolekcji można skonstruować obiekt przechylający E (ang. tilting object). Algebra endomorfi zmów E pozwala na obliczenie kategorii C . Porównując drugą i trzecią metodę znajdujemy nową operację kohomologiczną, którą nazywamy relatywnym iloczynem Massey'a. Pełne wyjątkowe kolekcje z zerowymi grupami Ext^ 2(Ti; Tj) istnieją na gładkich powierzchniach wymiernych. W szczególności na gładkich powierzchniach torycznych można w kanoniczny sposób zde finiować pełne wyjątkowe kolekcje wiązek liniowych spełniające warunek Ext^ 2(Li;Lj) = 0. Przy pomocy uniwersalnych rozszerzeń w jawny sposób obliczamy odpowiadające im DG kołczany. W kolejnym rozdziale zauważamy, że obliczając DG kołczan dla powierzchni torycznej, w głównej mierze bierzemy pod uwagę morfi zm z tej powierzchni do jej modelu minimalnego. Przyjmując bardziej ogólny punkt widzenia, rozpatrujemy więc biwymierny mor fizm f gładkich powierzchni rzutowych X i Y i badamy, jaką zadaj on relację pomiędzy kategoriami D(X) i D(Y ). Okazuje się, że odwzorowanie f zadaje rozkład półortogonalny kategorii D(X) na kategorie D oraz D(Y ). Kategoria D jest jednoznacznie wyznaczona przez dywizor wyjątkowy f. Dodatkowo, wszystkie obiekty D mają schemato-teoretyczny nośnik zawarty w dywizorze dyskrepancji odwzorowania f, a naturalna podkategoria abelowa snopów koherentnych leżących w D jest kategorią najwyższych wag. Kategorie najwyższych wag pojawiają się w teorii reprezentacji półprostych algebr Liego jako bloki kategorii O Bernsteina - Gelfanda - Gelfanda. W ostatnim rozdziale pokazujemy, że dla pewnej rodziny mor fizmów gładkich powierzchni rzutowych kategoria snopów koherentnych należących do D jest rzeczywiście równoważna blokowi kategorii O dla algebry Liego sln(n;C).

In this thesis we investigate derived categories of coherent sheaves on smooth projectivevarieties and their behaviour under birational morphisms. We give description of the bounded derived category of coherent sheaves D(X) on a smooth projective variety X provided it admits a full exceptional collection. We prove that if such a collection exists the category D(X) is equivalent to the homotopy category of DG modules over some finitely dimensional, directed DG category C . Then we address the problem of calculating the DG category C . We propose three methods. The first one is based on mutating the given collection S to a strong one. The second one uses the language of A-infinity categories and Massey products. More precisely, we use the fact that the DG category C can be calculated via a structure of an A-infinity algebra on the endomorphism algebra of objects of S . We prove that higher multiplications in this A-infinifty-algebra are, up to a sign, given by n-tuple Massey products provided the second set is non-empty. The third method is based on universal extensions, which originate in representation theory of quasi-hereditary algebras. This method works for full exceptional collections with second and higher Ext-groups between objects vanishing. It constructs from the given exceptional collection , a tilting object E and uses its endomorphism algebra to calculate the DG category C . Comparing methods using Massey products and universal extensions we describe some new cohomological operations, the so called relative Massey products. Smooth rational surfaces provide a list of examples where full exceptional collections with vanishing higher Ext-groups exist. In particular, on smooth toric surfaces we have canonical full exceptional collections satisfying this condition. We use universal extensions to calculate the corresponding DG categories explicitly. We notice that most of calculations done for toric, or more generally rational, surfaces depend on the birational morphism from the surface to its minimal model. In more general contex we investigate the relation between D(X) and D(Y ) for a birational morphism f from X to Y of smooth projective surfaces. We show that in this case D(X) admits a semi-orthogonal decomposition with components D and D(Y ). The category D is uniquely determined by the exceptional divisor of the map f. More precisely, all objects in D are scheme-theoretically supported on the discrepancy divisor of f. Finally, the natural abelian subcategory of D consisting of ccoherent sheaves is a highest weight category with duality. Higher weight categories appear in representation theory of semisimple Lie algebras as blocks of the BGG category O. We show that for a family of morphisms of smooth projective surfaces the abelian category of coherent sheaves inside D is indeed equivalent to a singular block of the BGG category O for sl(n;C).