Recursive structures for Nahm sums

W ciagu ostatniego półwiecza idea unifikacji stała sie jednym z przewodnich zagadnien w fizyce teoretycznej. Kluczowym celem tego programu jest sformułowanie kwantowej teorii grawitacji uogólniajacej ogólna teorie wzglednosci Einsteina oraz jej unifikacja z Modelem Standardowym fizyki czastek elementarnych. Istotna propozycja, w ramach której ten program mógłby byc zrealizowany, jest teoria strun. Niezaleznie od samej unifikacji i zwiazków z Modelem Standardowym, teoria ta łaczy sie takze z wieloma zagadnieniami kwantowej teorii pola oraz topologii niskowymiarowej. Własnie takim zwiazkom poswiecona jest niniejsza rozprawa. Rozprawa ta poswiecona jest m.in. waznej rodzinie funkcji q-hipergeometrycznych, zwanych szeregami Nahma, które maja zastosowanie w wielu obszarach fizyki i matematyki. Po raz pierwszy szeregi takie pojawiły sie w kontekscie dwuwymiarowych wymiernych konforemnych teorii pola [NRT93]. Niezaleznie, szeregi takie charakteryzuja przestrzenie moduli reprezentacji kołczanów [KS08] (kołczan jest grafem skierowanym, a jego reprezentacja przypisuje przestrzenie wektorowe do jego wierzchołków oraz odwzorowania liniowe do krawedzi).Wtym kontekscie szeregi Nahma zawieraja informacje o pewnych liczbowych niezmiennikach – uogólnionych niezmiennikach Dolandsona- Thomasa – które z fizycznego punktu widzenia charakteryzuja stany BPS (Bogomol’nyi-Prasad- Sommerfield) supersymetrycznych teorii cechowania odpowiadajacych takim kołczanom [KS08; GMN10]. Ponadto, dla pewnych szczególnych kołczanów odpowiadajacych wezłom w ramach korespondencji odkrytej w pracach [Kuc+17; Kuc+19], szeregi Nahma generuja niezmienniki tych wezłów, takie jak kolorowe wielomiany HOMFLY-PT (Hoste-Ocneanu-Millet-Freyd-Lickorish-Yetter- Przytycki-Traczyk). Zwiazek kołczanów z wezłami moze byc wyjasniony poprzez teorie strun, której amplitudy z jednej strony zawieraja informacje o wspomnianych wyzej stanach BPS [OV00], a z drugiej zwiazane sa z teoria Cherna-Simonsa, w której wartosci oczekiwane petli Wilsona odtwarzaja niezmienniki wezłów takie jak wielomiany HOMLFLY-PT [Wit89]. Głównym celem niniejszej rozprawy jest zbadanie struktur rekurencyjnych - rekurencji topologicznych, rozwiniec WKB (Wentzel-Kramers-Brillouin), rekurencji zadawanych przez krzywe kwantowe - dla szeregów Nahma dla ogólnych kołczanów, a takze zrozumienie pewnych aspektów korespondencji pomiedzy wezłami i (w tym wypadku pewnymi szczególnymi) kołczanami. Wyniki otrzymane w ramach rozprawy sa takze przedstawione w publikacjach [Bor+19; Lar+20; Nos21; Jan+21]. Poza tym na studiach magisterskich zajmowałem sie tematami wykraczajacymi poza zakres tej pracy; wyniki sa prezentowane w [INP15] i [NP16]. Prace mozna podzielic na trzy główne czesci. W pierwszej czesci rozprawy, której wyniki sa przedstawione równiez w pracy [Nos21], definiujemy pojecie wielomianów A dla kołczanów, oraz pokazujemy, ze takie wielomiany A zadaja klasyczna granice szeregów Nahma dla kołczanów oraz spełniaja wynikajace z K-teorii kryterium kwantyzacji [GS12]. Oznacza to, iz ich kwantowe uogólnienie istnieje. Ponadto znajdujemy ciekawa kombinatoryczna strukture wielomianów A dla kołczanów oraz jawne formuły na ich „ekstremalne” wersje. Druga czesc rozprawy, której wyniki sa przedstawione równiez w publikacji [Lar+20], poswiecona jest zastosowaniu rekurencji topologicznych dla szeregów Nahma. Rekurencje te pozwalaja obliczac funkcje korelacji dowolnego rzedu dla danej krzywej spektralnej [Eyn14] (okreslenie “krzywa spektralna” pochodzi z teorii modeli macierzowych, w ramach których rekurencje topologiczne zostały sformułowane po raz pierwszy). Rekurencje te okreslane sa jako „topologiczne”, numerowane sa one charakterystykami Eulera funkcji korelacji, odpowiadajacych powierzchniom Riemanna z nakłuciami. W naszych badaniach krzywe spektralne identyfikujemy z wielomianami A dla kołczanów i dla nich stosujemy rekurencje topologiczne, pokazujac, ze rekonstruuja one odpowiadajace tym wielomianom A szeregi Nahma. Rekurencja topologiczna umozliwia zatem kwantyzacje wielomianów A i pozwala wyznaczyc ich kwantowe odpowiedniki. Problem ten jest interesujacy, poniewaz w pracy [EO15] wykazano, iz amplitudy wyznaczane przez topologiczne rekurencje w modelu B moga byc reinterpretowane jako amplitudy strun topologicznych w modelu A. Rozwazajac topologiczne rekurencje dla wielomianu A dla kołczanu wyznaczamy zatem amplitudy odpowiadajacego mu modelu A topologicznej teorii strun. Ponadto, w tej czesci rozprawy badamy tez kwantowe struktury Airy i podajemy ogólna definicje struktury r-Airy’ego (wyniki te przedstawiona sa równiez w pracy [Bor+19]). Chociaz struktury Airy nie sa bezposrednio zwiazane z sumami Nahma, to kwantowe struktury Airy uogólniaja rekurencje topologiczne i maja bezposredni zwiazek ze strukturami algebraicznymi pochodzacymi z konforemnych teorii pola. Wykazawszy, iz wielomiany A spełniaja warunki kwantyzacji, oraz wyznaczywszy ich kwantowe odpowiedniki przy uzyciu topologicznych rekurencji, w ostatniej czesci rozprawy rozwazamy kwantowe obiekty, czyli szeregi Nahma odpowiadajace róznym wezłom. W szczególnosci badamy relacje lokalnej równowaznosci dla takich kołczanów, co pozwala na lepsze zrozumienie zaleznosci miedzy wezłami i kołczanami. Z relacji tej wynika, ze temu samemu wezłowi moze odpowiadac wiecej niz jeden kołczan; badana przez nas relacja pozwala znalezc rekurencyjnie wszystkie równowazne kołczany dla danego wezła. Wyniki tej czesci sa równiez przedstawione w [Jan+21]. Podsumowujac, w niniejszej rozprawie otrzymujemy kilka interesujacych wyników dotyczacych szeregów Nahma. W szczególnosci pokazujemy, ze wielomiany A dla kołczanów spełniaja warunki kwantyzacji, a zwiazany z danym kołczanem szereg Nahma moze byc zrekonstruowany przy uzyciu rekurencji topologicznych. Wyznaczamy takze rózne równowazne kołczany dla danego wezła, zadajace te same sumy Nahma. Wyniki te otwieraja równiez pole do przyszłych badań. Bibliografia [NRT93] Werner Nahm, Andreas Recknagel i Michael Terhoeven. “Dilogarith Identities in Conformal Field Theory”. W: Mod. Phys. Lett. (1993). arXiv: hep-th/9211034. [KS08] Maxim Kontsevich i Yan Soibelman. “Stability structures, motivic Donaldson-Thomas invariants and cluster transformations”. W: (2008). arXiv: 0811.2435 [math.AG]. [GMN10] Davide Gaiotto, Gregory W. Moore i Andrew Neitzke. “Four-dimensional wall-crossing via three-dimensional field theory”. W: Commun. Math. Phys. 299 (2010), s. 163–224. DOI: 10.1007/s00220-010-1071-2. arXiv: 0807.4723 [hep-th]. [Kuc+17] Piotr Kucharski, Markus Reineke, Marko Stosic i Piotr Sulkowski. “BPS states, knots and quivers”. W: Phys. Rev. D 96 (2017), s. 121902. DOI: 10.1103/PhysRevD.96.121902. arXiv: 1707.02991 [hep-th]. [Kuc+19] Piotr Kucharski, Markus Reineke, Marko Stosic i Piotr Sulkowski. “Knots-quivers correspondence”. W: Adv. Theor. Math. Phys. 23.7 (2019), s. 1685. arXiv: 1707.04017 [hep-th]. [OV00] Hirosi Ooguri i Cumrun Vafa. “Knot invariants and topological strings”. W: Nucl. Phys. B 577 (2000), s. 419–438. DOI: 10.1016/S0550-3213(00)00118-8. arXiv: hep-th/9912123. [Wit89] Edward Witten. “Quantum field theory and the Jones polynomial”. W: Comm. Math. Phys. 121.3 (1989), s. 351–399. ISSN: 0010-3616. [Bor+19] Ga¨etan Borot, Vincent Bouchard, Nitin K. Chidambaram, Thomas Creutzig i Dmitry Noshchenko. “Higher Airy structures, W algebras and topological recursion (accepted in Memoirs of the AMS)”. W: (2019). arXiv: 1812.08738 [math-ph]. [Lar+20] Helder Larraguivel, Dmitry Noshchenko, Milosz Panfil i Piotr Sulkowski. “Nahm sums, quiver A-polynomials and topological recursion”. W: JHEP 07 (2020), s. 151. DOI: 10.1007/JHEP07(2020)151. arXiv: 2005. 01776 [hep-th]. [Nos21] Dmitry Noshchenko. “Combinatorics of Nahm sums, quiver resultants and the K-theoretic condition”. W: JHEP 03 (2021), s. 236. DOI: 10.1007/JHEP03(2021)236. arXiv: 2007.15398 [hep-th]. [Jan+21] Jakub Jankowski, Piotr Kucharski, Helder Larraguivel, Dmitry Noshchenko i Piotr Sulkowski. “Permutohedra for knots and quivers (accepted in Physical Review D)”. W: (maj 2021). arXiv: 2105.11806 [hep-th]. [INP15] Igor Il’in, Dmitry Noshchenko i Andrey Perezhogin. “On classification of high-order integrable nonlinear partial differential equations”. W: Chaos, Solitons & Fractals 76.C (2015), s. 278–281. DOI: 10.1016/j. chaos.2015.04.0. arXiv: 1611.09292 [nlin.SI]. [NP16] Dmitry Noshchenko i Andrey Perezhogin. “On the Painleve property of a hydrodynamic system”. W: 11 (2016). Red. E3S Web of Conferences. DOI: 10.1051/e3sconf/20161100017. [GS12] Sergei Gukov i Piotr Sulkowski. “A-polynomial, B-model, and Quantization”. W: JHEP 1202 (2012), s. 070. DOI: 10.1007/JHEP02(2012)070. arXiv: 1108.0002 [hep-th]. [Eyn14] Bertrand Eynard. “A short overview of the “Topological recursion””. W: preprint arXiv:1412.3286 (2014). [EO15] Bertrand Eynard i Nicolas Orantin. “Computation of Open Gromov–Witten Invariants for Toric Calabi– Yau 3-Folds by Topological Recursion, a Proof of the BKMP Conjecture”. W: Commun. Math. Phys. 337.2 (2015), s. 483–567. DOI: 10.1007/s00220-015-2361-5. arXiv: 1205.1103 [math-ph].

In the past half-century there has been a tendency towards uni cation in theoretical physics. Fa- mously known string theory provides a hypothetical framework for quantum theory of gravity, lling the gap between Einstein's general relativity and the Standard Model of particle physics. Vast developments on the crossroads of string theory, low-dimensional topology and quantum eld theory led to many results which provided an idea for this thesis. Nahm sums are the q-hypergeometric series of a special form which have many incarnations in the- oretical physics and mathematics. Originally appeared in the context of rational two-dimensional conformal eld theories [NRT93], Nahm sums can be also thought of as characters of moduli spaces of quiver representations [KS08] (quiver is a directed graph, and a representation assigns vector spaces and linear maps to its vertices and edges, respectively). Such series encode certain numerical invariants (motivic Donaldson-Thomas invariants), which in turn can be associated to Bogomol'nyi-Prasad-Sommer eld (BPS) states of supersymmetric gauge theories related to such quivers [KS08; GMN10]. On the other hand, Nahm sums generate quantum knot invariants, such as colored HOMFLY-PT polynomials (named due to Hoste, Ocneanu, Millett, Freyd, Lickorish, Yetter, Przytycki and Traczyk), for a particular selection of quivers. These polynomials arise from Chern-Simons theory on a three-sphere as expectation values of Wilson loops along a knot, as shown by Edward Witten in his 1989 groundbreaking paper [Wit89]. The knots-quivers correspondence [Kuc+17; Kuc+19] states that for every knot there exists a symmetric quiver which encodes quan- tum polynomials of this knot. From string theory perspective, Nahm sum for a knot (commonly referred to as Ooguri-Vafa partition function [OV00]) is conjectured to count M2-branes inside the resolved conifold | a special type of Calabi-Yau manifold. Therefore, Nahm sums provide a bridge between Chern-Simons theory and string theory, via quantum knot invariants. The primary purpose of this thesis is to study the recursive structures { topological recursion, Wentzel{Kramers{Brillouin (WKB) expansions, recursions from quantum curves { for Nahm sums for generic quivers, not necessarily related to knots. The secondary purpose is to shed more light on the knots-quivers correspondence. The results of this thesis are presented in [Bor+19; Lar+20; Nos21; Jan+21]. Besides, during my master studies I was working on topics beyond the scope of this thesis, and these results are presented in [INP15] and [NP16]. The thesis can be divided into three main parts. In the rst part, whose results are also presented in [Nos21], we show that quiver A-polynomials, de ned as the resultants for the semi-classical limit of the associated Nahm sum for a quiver, pass the K-theoretic quantization criterion from [GS12], and are therefore quantizable. Alongside we reveal an interesting combinatorial structure of quiver A-polynomials and the explicit formulas for their \extremal" versions (involving their Newton polytopes). It follows that classical quiver A-polynomials can be lifted to a well-de ned quantum objects. The second part, whose results are also presented in [Lar+20], deals mainly with the topological recursion for Nahm sums. It is an algorithm to compute correlation functions of an arbitrary order, for a given spectral curve [Eyn14] (the term \spectral curve" is taken from matrix model theory, where the topological recursion rst appeared). It is also called \topological", because the recur- sion runs over the Euler characteristics of correlation functions, pictorially presented as punctured surfaces of a non-negative genus. In our study we take spectral curves to be quiver A-polynomials and apply topological recursion to a selection of quivers in order to con rm that it reconstructs the associated Nahm sum. Topological recursion therefore provides a way to quantization, and allows to nd an explicit expression for quantum A-polynomials which take form of recursions for the coe cients of the corresponding Nahm sum. This problem is interesting because the remodelling theorem [EO15] states that topological recursion invariants from a B-model spectral curve can be reinterpreted as topological string amplitudes in the A-model. By using spectral curves from quivers we establish the correspondence between knot invariants and topological string counting in explicit examples, and also identify the A-model when there is no explicit relation to a knot. Our results mainly con rm the consistency of the topological recursion results with the corresponding Nahm sum. We also study quantum Airy structures and give a general de nition of an r-Airy structure, also presented in [Bor+19]. Although not being directly related to Nahm sums, quantum Airy structures generalize the topological recursion and make a direct connection to algebraic structures coming from conformal eld theories. Having shown that quiver A-polynomials are quantizable and then having applied to them topologi- cal recursion, in the last part we consider properties of quantum objects, i.e. Nahm sums associated to various knots. We study the local equivalence relation for quivers and the identities between various Nahm sums, which allow for a better understanding of the knots-quivers correspondence. It has been known that there may be more than one quiver corresponding to the same knot (we declare such quivers as equivalent), and in this thesis we explore the conditions for two quivers to be equivalent. In principle it allows to nd all equivalent quivers for a given knot recursively, starting from some initial quiver. The results of this part are also presented in [Jan+21]. Summing up, we obtain a few interesting results in relation to Nahm sums, in particular we show that quiver A-polynomials are quantizable and topological recursion reconstructs the associated Nahm sums for quivers. We also determine various equivalent quivers for a given knot and relate them to identities between their Nahm sums. These results also leave the scope for future research. References [NRT93] Werner Nahm, Andreas Recknagel, and Michael Terhoeven. \Dilogarith Identities in Conformal Field Theory". In: Mod. Phys. Lett. (1993). arXiv: hep-th/9211034. [KS08] Maxim Kontsevich and Yan Soibelman. \Stability structures, motivic Donaldson-Thomas invariants and cluster transformations". In: (2008). arXiv: 0811.2435 [math.AG]. [GMN10] Davide Gaiotto, Gregory W. Moore, and Andrew Neitzke. \Four-dimensional wall-crossing via threedimensional eld theory". In: Commun. Math. Phys. 299 (2010), pp. 163{224. doi: 10.1007/s00220- 010-1071-2. arXiv: 0807.4723 [hep-th]. [Wit89] Edward Witten. \Quantum eld theory and the Jones polynomial". In: Comm. Math. Phys. 121.3 (1989), pp. 351{399. issn: 0010-3616. [Kuc+17] Piotr Kucharski, Markus Reineke, Marko Stosic, and Piotr Sulkowski. \BPS states, knots and quivers". In: Phys. Rev. D 96 (2017), p. 121902. doi: 10.1103/PhysRevD.96.121902. arXiv: 1707.02991 [hep-th]. [Kuc+19] Piotr Kucharski, Markus Reineke, Marko Stosic, and Piotr Sulkowski. \Knots-quivers correspondence". In: Adv. Theor. Math. Phys. 23.7 (2019), p. 1685. arXiv: 1707.04017 [hep-th]. [OV00] Hirosi Ooguri and Cumrun Vafa. \Knot invariants and topological strings". In: Nucl. Phys. B 577 (2000), pp. 419{438. doi: 10.1016/S0550-3213(00)00118-8. arXiv: hep-th/9912123. [Bor+19] Ga etan Borot, Vincent Bouchard, Nitin K. Chidambaram, Thomas Creutzig, and Dmitry Noshchenko. \Higher Airy structures, W algebras and topological recursion (accepted in Memoirs of the AMS)". In: (2019). arXiv: 1812.08738 [math-ph]. [Lar+20] Helder Larraguivel, Dmitry Noshchenko, Milosz Pan l, and Piotr Sulkowski. \Nahm sums, quiver Apolynomials and topological recursion". In: JHEP 07 (2020), p. 151. doi: 10.1007/JHEP07(2020)151. arXiv: 2005.01776 [hep-th]. [Nos21] Dmitry Noshchenko. \Combinatorics of Nahm sums, quiver resultants and the K-theoretic condition". In: JHEP 03 (2021), p. 236. doi: 10.1007/JHEP03(2021)236. arXiv: 2007.15398 [hep-th]. [Jan+21] Jakub Jankowski, Piotr Kucharski, Helder Larraguivel, Dmitry Noshchenko, and Piotr Sulkowski. \Permutohedra for knots and quivers (accepted in Physical Review D)". In: (May 2021). arXiv: 2105.11806 [hep-th]. [INP15] Igor Il'in, Dmitry Noshchenko, and Andrey Perezhogin. \On classi cation of high-order integrable nonlinear partial di erential equations". In: Chaos, Solitons & Fractals 76.C (2015), pp. 278{281. doi: 10.1016/j.chaos.2015.04.0. arXiv: 1611.09292 [nlin.SI]. [NP16] Dmitry Noshchenko and Andrey Perezhogin. \On the Painleve property of a hydrodynamic system". In: 11 (2016). Ed. by E3S Web of Conferences. doi: 10.1051/e3sconf/20161100017. [GS12] Sergei Gukov and Piotr Sulkowski. \A-polynomial, B-model, and Quantization". In: JHEP 1202 (2012), p. 070. doi: 10.1007/JHEP02(2012)070. arXiv: 1108.0002 [hep-th]. [Eyn14] Bertrand Eynard. \A short overview of the \Topological recursion"". In: preprint arXiv:1412.3286 (2014). [EO15] Bertrand Eynard and Nicolas Orantin. \Computation of Open Gromov{Witten Invariants for Toric Calabi{Yau 3-Folds by Topological Recursion, a Proof of the BKMP Conjecture". In: Commun. Math. Phys. 337.2 (2015), pp. 483{567. doi: 10.1007/s00220-015-2361-5. arXiv: 1205.1103 [math-ph]