Stan stacjonarny sedymentującej zawiesiny przy małej liczbie Reynoldsa i dużej liczbie Pecleta

W pracy przedstawiono podstawy teoretyczne potrzebne do skonstruowania pełnego opisu statystycznego dla jednorodnego stanu stacjonarnego sedymentującej zawiesiny w granicy znikającej liczby Reynoldsa i nieskończonej liczby Pecleta. Wyprowadzono ścisłe wyrażenia na fluktuacje prędkości, a następnie przy pomocy diagramów sklasyfikowano wszystkie potencjalnie rozbieżne wyrażenia. Dla każdej klasy sformułowano warunki konieczne dla zachowania zbieżności otrzymanych wyrażeń. Pokazano, że ww. warunki nie zapewniają krótkiego zasięgu funkcjom korelacji wyznaczanym z hierarchii równań BBGKY wyprowadzonej przez Cichockiego i Sadleja. Następnie przeanalizowano propozycję rozwiązań Batchelora oraz Cichockiego i Sadleja. Wskazano na wewnętrzną sprzeczność postępowania Batchelora oraz na ograniczone zastosowanie rozumowania Cichockiego i Sadleja. Wyniki tych analiz pozwoliły na sformułowanie nowej hierarchii, która nie zawiera wyrazów dalekiego zasięgu. Opiera się ona na mechanizmie niwelowania pola liniowego, który proponowali Cichocki i Sadlej. Rozwiązania tej hierarchii muszą być całkowalne i izotropowe. Nowy schemat rozwiązuje problem współczynnika sedymentacji dla zawiesin polidyspersyjnych (problem Batchelora). W zaproponowanym schemacie fluktuacje pozostają rozbieżne w granicy termodynamicznej, co sugeruje istnienie niestabilności na dużych odległościach. Otrzymane wnioski zgadzają się z rezultatami prac Ladda oraz Abade, którzy symulowali sedymentację w układzie z periodycznymi warunkami brzegowymi.

In thesis there is presented theoretical basis needed to construct full statistical description for a stationary state of a sedimenting suspension in the limit of vanishing Reynolds number and infinite value of Peclet number. Rigorous expressions for velocity fluctuations are derived and all potentially divergent terms are classified. For each class conditions required for convergence of those expressions are formulated. It is shown that mentioned conditions are not sufficient to ensure short range of correlation functions governed by the BBGKY hierarchy derived by Cichocki and Sadlej. Then solutions proposed by Batchelor and Cichocki and Sadlej were analysed. Contradiction was shown in Batchelors scheme and limitations of Cichocki and Sadlej solution was discussed. Those results allowed for a new hierarchy formulation which does not contain long range terms. It uses mechanism of a response to linear flow which was described by Cichocki and Sadlej. Solutions of the new hierarchy must be isotropic and integrable. New scheme solves a problem of calculating a sedimentation coefficient for polydisperse suspensions (Batchelors problem). In proposed approach the fluctuations remain divergent in the thermodynamic limit. Derived results are in agreement with simulations of the sedimenting suspension in a periodic boundary conditions performed independently by Ladd and Abade.