Estimates for moments of random vectors

Ta rozprawa poświęcona jest oszacowaniom momentów norm wektorów losowych. Składa się ona z czterech głównych wyników. W pierwszej części pokazujemy, że dla $p\geq 1$ i $r\geq 1$, $p$-ty moment normy $\ell_r$ log-wklęsłego wektora losowego jest porównywalny z sumą pierwszego momentu i słabego $p$-tego momentu, z dokładnością do stałej proporcjonalnej do $r$. Jest to uogólnienie uzyskanego wcześniej przez Paourisa oszacowania dla norm euklidesowych. Drugi główny wynik orzeka, że dla $p\ge 1$, $p$-ty moment supremów liniowych kombinacji niezależnych scentrowanych zmiennych losowych jest porównywalny z sumą pierwszego momentu i słabego $p$-tego momentu, o ile $2q$-te i $q$-te momenty całkowe tych zmiennych są porównywalne dla każdego $ q \ge 2$. Ten drugi warunek okazuje się być konieczny w przypadku wektorów o współrzędnych niezależnych o jednakowych rozkładach. W kolejnej części wykazujemy, że każda symetryczna zmienna losowa o log-wklęsłych ogonach spełnia wypukłą nierówność splotu infimum z optymalną (z dokładnością do skalowania) funkcją kosztu. Jako wniosek otrzymujemy niemal optymalne porównywanie słabych i silnych momentów dla symetrycznych wektorów losowych o niezależnych współrzędnych o log-wklęsłych ogonach. Ostatnim głównym wynikiem jest oszacowanie $\Ex \| X\|_{\ell_{p'} \to \ell_q}$ dla $p,q\ge 2$ i macierzy losowej $X$, której wyrazy mają postać $a_{ij}Y_{ij}$, gdzie $Y$ jest macierzą o niezależnych wierszach o tym samym izotropowym i log-wklęsłym rozkładzie. Uogólnia to wynik Gu{\'e}do\-na, Hinrichsa, Litvaka i Prochny dla macierzy gaussowskich o niezależnych wyrazach. Nasze oszacowanie jest optymalne z dokładnością do czynników logarytmicznych z wymiaru.

This dissertation is devoted to estimates of moments of norms of random vectors. It consists of four main results. In the first part we show that for $p\geq 1$ and $r\geq 1$ the $p$-th moment of the $\ell_r$-norm of a log-concave random vector is comparable to the sum of the first moment and the weak $p$-th moment up to a constant proportional to $r$. This extends the previous result of Paouris concerning Euclidean norms. The second main result states that for $p\ge 1$, the $p$-th moments of suprema of linear combinations of independent centered random variables are comparable with the sum of the first moment and the weak $p$-th moment provided that the $2q$-th and $q$-th integral moments of these variables are comparable for all $ q \ge 2$. The latter condition turns out to be necessary in the i.i.d. case. In the next part we show that every symmetric random variable with log-concave tails satisfies the convex infimum convolution inequality with an optimal cost function (up to scaling). As a result, we obtain nearly optimal comparison of weak and strong moments for symmetric random vectors with independent coordinates with log-concave tails. The last main result is an estimate of $\Ex \| X\|_{\ell_{p'} \to \ell_q}$ for $p,q\ge 2$, where $X$ is a random matrix, which entries are of the form $a_{ij}Y_{ij}$, where $Y$ has i.i.d. isotropic log-concave rows. This generalises the result of Gu{\'e}don, Hinrichs, Litvak, and Prochno for Gaussian matrices with independent entries. Our estimate is optimal up to logarithmic factors.