Dwustronne oszacowanie momentów wieloliniowych form losowych - przypadek rzeczywisty i wektorowy

Niniejsza rozprawa poświęcona jest losowym formom wieloliniowym, zwanym chaosami losowymi, które są zdefiniowane jako S := X i1,...,id ai1,...,idXi1···Xid, gdzie d ∈N, X1,...,Xn są niezależnymi zmiennymi losowymi natomiast ai1,...,id są współczynnikami z przestrzeni Banacha (F,k·k). Naszym celem jest znalezienie dwustronnych oszacowań momentów całkowych zmiennej S określonych jako kSkp :=(EkSkp)1/p. Będziemy przy tym zakładać pewne warunki o strukturze współczynników (ai1,...,id)i1,...,id oraz o rozkładzie zmiennych losowych (X1,X2,...). W pierwszej części pracy rozważamy przypadek gdy F =R (przypadek rzeczywisty). W pierwszym rozdziale zakładamy, że zmienne losowe X1,X2,... są nieujemne oraz, że momenty tych zmiennych nie rosną "za szybko". W drugim rozdziale rozważamy symetryczne zmienne losowe, które spełniają ten sam warunek na wzrost momentów. Druga część pracy poświęcona jest przypadkowi chaosów losowych o wartościach wektorowych. Wyprowadzamy górne oszacowania na momenty, które można odwrócić w pewnej klasie przestrzeni Banacha (zawierającej przestrzenie Lq). Trzeci i czwarty rozdział poświęcony jest przypadkowi, gdy zmienne X1,X2,... mają rozkład normalny oraz, gdy odpowiednio d=2 i d >2. W ostatnim rozdziale omówiony jest przypadek zmiennych losowych o logarytmicznie wklęsłych ogonach oraz d=2.

In the following thesis we are investigating random multilinear forms, which are called random chaoses, defined by S := X i1,...,id ai1,...,idXi1···Xid, where d∈N, X1,...,Xn are independent random variables, and ai1,...,id ∈F, where (F,k·k) is a Banach space. We want to derive two-sided bounds of kSkp :=(EkSkp)1/p under some conditions about the structure of (ai1,...,id)i1,...,id and the distribution of (X1,X2,...). The first part of the thesis concerns the case when F =R (the real case). In the first chapter we assume that the random variables X1,X2,... are nonnegative and their moments do not grow "too fast". In the second chapter we consider the symmetric random variables satisfying the same moment condition. The second part is dedicated to vector-valued chaoses. We derive certain upper bounds which turn out to be two-sided in a special class of Banach spaces (which includes Lq spaces). In the third and fourth chapters we analyze the case when the random variables X1,X2,... have Gaussian distributionand d=2or d>2respectively.Inthefifthchapterwestudyvariableswithlog-concave tails and d=2. AMS 2000 subject classifications: Primary: 60E15. Secondary: 60B11.