Wybrane aspekty wyceny i zabezpieczenia wypłat w modelach rynku z czasem dyskretnym

W rozprawie rozważane są zagadnienia wyceny i zabezpieczenia wypłat w ogólnym modelu rynku z czasem dyskretnym. W pierwszej części proponujemy formalny opis stosowanej w praktyce metody wyceny przez analizę scenariuszy. Zaproponowane sformułowanie jest na tyle ogólne, ze pozwala zaimplementować wycenę dowolnej wypłaty przez analizę scenariuszy w każdym wolnym od arbitrażu modelu rynku z czasem dyskretnym. Dowodzimy, ze wycena wypłaty przez analizę scenariuszy prowadzi zawsze do wyznaczenia pewnego procesu ceny arbitrażowej tej wypłaty. Jeżeli rynek jest niezupełny, to środki uzyskane ze sprzedaży wypłaty po cenie arbitrażowej mogą nie wystarczyć do pełnego zabezpieczenia tej wypłaty.W takiej sytuacji można wyznaczyć efektywne zabezpieczenie wypłaty przez znalezienie minimalizującej ryzyko straty strategii, której wartość początkowa nie przekracza zadanego ograniczenia budżetowego. W drugiej części rozprawy podajemy aproksymacyjne rozwiązanie ogólnego zagadnienia z optymalizacji wypukłej, którego szczególnym przypadkiem jest problem efektywnego zabezpieczenia. Stosując podejście aproksymacyjne, rozwiązujemy zarówno problemy efektywnego zabezpieczenia nieujemnych wypłat dla których istnieje pełne zabezpieczenie, jak i zagadnienie efektywnego zabezpieczenia nieujemnych wypłat, dla których nie istnieje pełne zabezpieczenie. Problem efektywnego zabezpieczenia tych ostatnich wypłat nie był dotychczas rozpatrywany w literaturze i nie można go rozwiązać stosowanymi dotąd technikami.

We consider a problem of pricing and hedging of contingent claims in a general discrete time financial market model. Motivated by scenario analysis approaches to pricing used in practice we propose a formal description of a pricing method we call scenario analysis pricing. Generality of our formulation allows implementation of scenario analysis pricing in any arbitrage-free market model. We show that scenario analysis pricing of a contingent claim always yields some arbitrage price process of this claim. In the case of an incomplete market model money obtained from selling contingent claim at arbitrage price may not be sufficient to construct a superreplicating strategy. In this case one may construct efficient hedging by finding risk minimizing strategy whose initial value satisfies given budget constraint. In the second part of the dissertation we provide an approximative solution to some convex optimization problem, the particular case of which is efficient hedging problem. Using approximation approach, we provide solution to problem of efficient hedging of superreplicable contingent claims as well as efficient hedging of nonnegative contingent claims for which perfect hedging is not possible. Efficient hedging of such contingent claims has not been considered in the literature and it cannot be solved by techniques known so far.