Semimartingales and shrinkage of filtration

Podczas naszych badań nad strukturalnymi zależnościami okazało się, że zachowywanie strukturalnych zależności semimartyngałów i procesów punktowych wymaga rozbudowania pewnego aparatu związanego z wyznaczaniem tzw. charakterystyk semimartyngałowych. Z bardzo ogólnych wyników Stricker′a wiadomo że F-adaptowany proces X który jest semimartyngałem w pewnej filtracji G zawierającej F jest też semimartyngałem względem filtracji F. Nie wiadomo natomiast jak wyznaczyć charakterystyki semimartyngałowe względem filtracji F za pomocą charakterystyk semimartyngałowych w filtracji G. Zajęliśmy się badaniem tego problemu próbując używać aparatu opcjonalnych i prognozowalnych(dualnych) projekcji. Postawiliśmy też i badaliśmy problem ogólniejszy tzn dotyczący sytuacji gdy G-semimartyngał X nie jest F-adaptowany. W tym przypadku badaliśmy jaki jest związek pomiędzy charakterystykami F-opcjonalnej projekcji X względem filtracji F a jego charakterystykami względem większej filtracji G. Pokazaliśmy, przy pewnych założeniach, że dla zadanego G-semimartyngału X adaptowanego do mniejszej filtracji F jego charakterystyki semimartyngałowe względem filtracji G można wyrazić za pomocą tzw opcjonalnych i prognozowalnych projekcji charakterystyk względem filtracji G. Ponadto w przypadku gdy X nie jest adaptowany do F otrzymaliśmy, przy pewnych założeniach, wzory na dwie pierwsze charakterystyki F-opcjonalnej projekcji procesu X. Pewne dodatkowe założenia umożliwiły nam również podanie formuły na trzecią charakterystykę.

We consider a complete probability space (Ω, F ,P), which is endowed with two filtrations, G and F, assumed to satisfy the usual conditions and such that F⊂G. On this probability space we consider a real valued G-semimartingale X. The purpose of this work is to study the following two problems: A. If X is F-adapted, compute the F-semimartingale characteristics of X in terms of the G-semimartingale characteristics of X. B. If X is a special G-semimartingale but not F-adapted, compute the F-semimartingale characteristics of the F-optional projection of X in terms of the G-canonical decomposition and the G-semimartingale characteristics of X. In this paper problem B is solved under the assumption that the filtration F is immersed in G. Beyond the obvious mathematical interest, our study is motivated by important practical applications in areas such as finance and insurance (cf. Structured Dependence Between Stochastic Processes (2020) Cambridge Univ. Press).