Kraty anihilatorów w pewnych klasach algebr

W literaturze pojawiło się wiele prac o kratach anihilatorów w algebrach łącznych, oraz o związkach własności tych krat z własnościami krat ideałów jednostronnych i z innymi znanymi, ważnymi własnościami algebr. Celem rozprawy jest kontynuowanie tych badań. Szczególny nacisk jest położony na badanie algebr zredukowanych, oraz algebr półprymarnych, w tym algebr skończenie wymiarowych. Podamy teraz przykłady uzyskanych rezultatów. W rozdziale drugim pokazujemy, że kraty anihilatorów lewostronnych i anihilatorów prawostronnych dowolnej algebry zredukowanej są równe i ta krata jest algebrą Boole'a. Jeśli A jest algebrą półprymarną, to krata anihilatorów tej algebry jest algebrą Boole'a wtedy i tylko wtedy, gdy A jest skończoną sumą prostą algebr z dzieleniem. W rozdziale trzecim, dla dowolnego ciała K i dla dowolnej kraty L konstruujemy lokalną algebrę K[L], taką że jej krata anihilatorów zawiera L jako podkratę. Można przy tym żądać, aby algebra K[L] była przemienna. To pozwala nam udowodnić, że nie istnieje żadna nietrywialna tożsamość spełniona w kratach anihilatorów wszystkich algebr lokalnych. Przypomnijmy, że kraty ideałów jednostronnych we wszystkich algebrach są modularne, a więc spełniają wiele wspólnych, nietrywialnych tożsamości. Jeśli L jest kratą skończoną, to nasza algebra K[L] jest skończenie wymiarowa. Tak więc otrzymujemy przykłady zanurzeń krat skończonych w kraty anihilatorów algebr skończenie wymiarowych, nawet dla tych krat, dla których wcześniej znane były zanurzenia jedynie w kraty anihilatorów algebr nieskończenie wymiarowych. Korzystając ze wspomnianej wyżej konstrukcji opisujemy, w rozdziale czwartym, kraty skończone, które mogą być reprezentowane jako kraty wszystkich anihilatorów algebr skończenie wymiarowych nad ciałami nieskończonymi.

In several papers connections of properties of lattices of annihilators with properties of lattices of one-sided ideals and with other important properties of associative algebras are considered. The aim of this dissertation is to continue these considerations. Special attention will be paid to reduced algebras and semiprimary algebras, in particular to finite dimensional algebras. We provide now some of obtained results. In chapter two we show that for every reduced algebra the lattices of its left annihilators and right annihilators are equal and this lattice is a Boolean algebra. If A is a semiprimary algebra, then the lattices of annihilators of A are Boolean algebras if and only if A is a finite direct sum of division algebras. In the third chapter, for any field K and for arbitrary lattice L we construct a local algebra K[L] and a lattice embedding of L into the lattice of left annihilators of K[L]. In addition we can assume, that K[L] is a commutative algebra. As a consequence, we are able to prove that there is no nontrivial identity satisfied in all lattices of annihilators in local algebras. Let us remind, that lattices of one-sided ideals in all algebras are modular. Thus they satisfy many nontrivial identities. If L is a finite lattice, then our algebra K[L] is finite dimensional. Hence we obtain an embedding of any finite lattice into a lattice of annihilators in a finite dimensional algebra. Earlier examples from the literature showed mainly embeddings into lattices of annihilators of infinite dimensional algebras. Using our construction we also describe, in chapter four, finite lattices being representable as lattices of all annihilators in finite dimensional algebras over infinite fields.