Generalized Białynicki-Birula Decompositions

Klasyczny rozkład Białynickiego-Biruli stwierdza, że gładka algebraiczna rozmaitość z działaniem jednowymiarowego torusa jest sumą rozłączną lokalnie domkniętych podrozmaitości. Ponadto każda z tych podrozmaitości jest lokalnie trywialną przestrzenią włóknistą nad spójną składową zbioru punktów stałych działania torusa. Ten rezultat znacznie ułatwia analizę struktury kohomologicznej wyjściowej rozmaitości. Niniejsza rozprawa dotyczy uogólnień rozkładu Białynickiego-Biruli. Rozważmy grupę algebraiczną G wraz z gęstym zanurzeniem G ↪ M w algebraiczny monoid. Dla każdej przestrzeni algebraicznej X z działaniem grupy G definiujemy funktor DX, który parametryzuje te G-schematy nad X, dla których działanie G rozszerza się do działania M. Sytuację z klasycznego rozkładu Białynickiego-Biruli uzyskuje się na tym gruncie kładąc za G jednowymiarowy torus, za M prostą afiniczną z kanonicznym mnożeniem punktów oraz za X gładką rozmaitość z działaniem torusa. To funktorialne podejście umożliwia dwa niezależne sposoby uogólnienia rozkładu Białynickiego-Biruli. Pierwszy zastępuje zanurzenie Gm ↪ A1 zanurzeniem grupy algebraicznej w pewien monoid, natomiast drugi zastępuje gładką rozmaitość X pewnym schematem lub przestrzenią algebraiczną. Pierwsze uogólnienie wymaga wprowadzenia klasy monoidów Kempfa. Warto zaznaczyć, że każdy monoid reduktywny jest monoidem Kempfa. Przy założeniu, że M jest monoidem Kempfa uzyskujemy w rozprawie reprezentowalność DX i dowodzimy, że kanonicznie określony morfizm DX → XG jest afiniczny. Dla przypadku gładkiego dowodzimy ponadto, że ten morfizm jest afiniczną wiązką włóknistą – zupełnie jak w przypadku klasycznym. W szczególności uzyskujemy w ten sposób całkowicie nowy dowód standardowego rozkładu Białynickiego-Biruli.

The classical Białynicki-Birula decomposition states that a smooth algebraic variety with an action of one dimensional algebraic torus can be decomposed into a disjoint sum of locally closed subvarieties. Moreover, each locally closed subvariety in the decomposition admits a locally trivial affine space fibration over certain connected component of the fixed point set. In particular, this result simplifies vari ous cohomological considerations about such varieties. This dissertation concerns generalizations of the classical Białynicki-Birula decomposition. We consider an algebraic group G and a dense embedding G ↪ M of G into an algebraic monoid M. Then for any algebraic space X equipped with an action of G we define a functor DX that parametrizes G-schemes over X for which the action of G extends to an action M. We can rephrase the classical Białynicki-Birula decomposition in this language by setting G = Gm and M = A1 and taking for X a smooth algebraic variety with Gm-action. The functorial approach we propose enables two orthogonal ways of generalizing the orig inal Białynicki-Birula result. The first generalizes the embedding Gm ↪ A1 and the other concerns replacement of smooth algebraic varieties with more general schemes or algebraic spaces (not necessarily smooth or normal). To address the first generalization we introduce the class of Kempf’s monoids. In particular, every monoid having reductive group of units is a Kempf’s monoid. Under this assumptions we obtain the representability of DX and prove that certain canonical morphism DX → XG is affine. For the smooth case we also prove that the latter morphism is an affine fibration precisely as in the classical case. In particular, this gives an independent proof of the original Białynicki-Birula decomposition.