Analytical and Algebraic Structures of Special Functions in Exactly Solvable Systems

Niniejsza praca dotyczy dwóch klas funkcji pojawiających się w dokładnie rozwiązywalnych układach fizycznych. Funkcje specjalne są często traktowane jedynie jako narzędzia rozwiązania, jednak ich głębsze znaczenie tkwi w subtelnych tożsamościach, ukrytych symetriach oraz złożonych relacjach między nimi. Dokładne rozwiązanie problemu oznacza nie tylko otrzymanie odpowiedzi, lecz także lepsze zrozumienie struktury, która się pod nim kryje. Kierując się tą perspektywą, badamy teorię spektralną jednowymiarowych operatorów Schr\odingera oraz zerowymiarowe teorie macierzy losowych przez pryzmat funkcji specjalnych.

Pierwsza część poświęcona jest teorii spektralnej jednowymiarowych operatorów Schr\odingera z zespolonymi potencjałami, które można sprowadzić do równania hipergeometrycznego. Wykorzystując dokładną rozwiązywalność tych operatorów, konstruujemy ich funkcje Greena oraz analizujemy odpowiadające im dziedziny operatorowe, domknięte realizacje oraz warunki brzegowe. W szczególności klasyfikujemy dziewięć rodzin operatorów Schr\odingera powstających poprzez rozdzielenie zmiennych na przestrzeniach symetrycznych. Ta część oparta jest na pracy \textit{Exactly solvable Schr\odinger operators related to the hypergeometric equation}, napisanej we współpracy z Janem Derezi'nskim. Uwzględniamy również nowy, niepublikowany wynik dotyczący dokładnej kwantyzacji WKB tych operatorów, pokazujący, w jaki sposób dokładne rozwinięcia WKB prowadzą do ścisłego warunku kwantyzacji.

Druga część rozprawy dotyczy wielomianów symetrycznych oraz ich roli w $\beta$-deformowanym modelu wartości własnych. Pokazujemy, że model ten jest nie tylko dokładnie rozwiązywalny, lecz także że po rozwinięciu wielopunktowych korelatorów w odpowiedniej bazie danej przez wielomiany Jacka uzyskują one zamkniętą i sfaktoryzowaną postać. To wyjątkowe zjawisko znane jest jako supercałkowalność. Przedstawiamy dowód oparty na więzach Virasoro związanych z modelem oraz metodach teorii reprezentacji. Ta część oparta jest na pracy \textit{Proving superintegrability in $\beta$-deformed eigenvalue models}, napisanej we współpracy z Adityą Bawane oraz Piotrem Sułkowskim.

Dodatkowo przedstawiamy nowy, niepublikowany wynik ustanawiający bardziej ogólne ramy dla tego zjawiska. Dowód opiera się na związku pomiędzy wielozmiennymi funkcjami hipergeometrycznymi a jądrem reprodukującym Dunkla. Szersza perspektywa nie tylko obejmuje supercałkowalność $\beta$-deformowanych modeli jako szczególny przypadek, lecz także wyjaśnia mechanizm stojący za tym zjawiskiem faktoryzacji w prostszym i bardziej przejrzystym ujęciu.

This thesis is concerned with two classes of functions arising in exactly solvable systems of physics. Special functions are often treated merely as instruments of solution, yet their deeper significance lies in their delicate identities, hidden symmetries, and intricate relations. To solve something exactly is not only to obtain an answer, but also to better understand the structure that lies beneath it. Guided by this perspective, we study the spectral theory of one-dimensional Schr\odinger operators and zero-dimensional random matrix theories through the lens of special functions.

The first part is devoted to the spectral theory of one-dimensional Schr\odinger operators with complex potentials that can be reduced to the hypergeometric equation. Exploiting the exact solvability of these operators, we construct their Green functions and analyze the corresponding operator domains, closed realizations, and boundary conditions. In particular, we classify nine families of Schr\odinger operators arising from separation of variables on symmetric spaces. This part is based on the paper \textit{Exactly solvable Schr\odinger operators related to the hypergeometric equation}, written in collaboration with Jan Derezi'nski. We also include a new unpublished result concerning the exact WKB quantization of these operators, showing how exact WKB expansions lead to an exact quantization condition.

The second part of the thesis concerns symmetric polynomials and their role in the $\beta$-deformed eigenvalue model. We show that this model is not only exactly solvable, but that, when multipoint correlators are expanded in the appropriate basis given by Jack polynomials, they acquire a closed and factorized form. This remarkable phenomenon is known as superintegrability. We present a proof based on the Virasoro constraints of the model together with representation-theoretic methods. This part is based on the paper \textit{Proving superintegrability in $\beta$-deformed eigenvalue models}, written in collaboration with Aditya Bawane and Piotr Su\l{}kowski.

In addition, we include a new unpublished result establishing a more general framework for this phenomenon. The proof relies on the relation between multivariable hypergeometric functions and the Dunkl reproducing kernel. This broader perspective not only contains the superintegrability of $\beta$-deformed models as a special case, but also clarifies the underlying mechanism behind this factorization phenomenon through a simpler and more clean argument.