Knots and BPS invariants

Jednym z najważniejszych celów współczesnej fizyki teoretycznej jest znalezienie zunifikowanego opisu wszystkich oddziaływań fundamentalnych. Model Standardowy stanowi teorię oddziaływań elektromagnetycznych, słabych i silnych, natomiast grawitacja opisywana jest przez ogólną teorię względności. Do dziś nie udało się osiągnąć unifikacji potwierdzonej w eksperymentach, ale jedną z prób odnoszących najwięcej sukcesów jest teoria strun. Oprócz innych osiągnięć, wniosła ona bardzo wysublimowane narzędzia dla fizyki teoretycznej i matematyki. Szczególnie owocne okazały się badania łączące teorię strun z topologią. W 1990 roku Edward Witten został nagrodzony Medalem Fieldsa za – między innymi – „ jedyną trójwymiarową ze swej istoty interpretację niezmienników Jonesa” [Ati91] w języku teorii Cherna-Simonsa. Ten przełom może być uznany za fundament nowej dziedziny łączącej teorię węzłów nie tylko z kwantową teorią pola, ale także ze strunami i branami. W [OV00, LM01, LMV00] Labastida, Mariño, Ooguri i Vafa wprowadzili topologiczne niezmienniki węzłów wyrażone przez wielomiany HOMFLY-PT i intepretowane jako wypadkowa liczba stanów BPS w pewnych układach D-bran. W związku z tym niezmienniki BPS muszą być całkowite – to stwierdzenie, znane jako hipoteza Labastidy-Mariño-Ooguriego-Vafy (LMOV), jest jednym z najważniejszych otwartych problemów łączących teorię węzłów z teorią strun. Ponieważ relacja między wielomianami HOMFLY-PT a niezmiennikami BPS jest bardzo skomplikowana, badania hipotezy LMOV koncentrowały się na przykładach w zakresie reprezentacji grupy U(N) odpowiadających skończonej liczbie najprostszych diagramów Younga. W ramach innego nurtu badań, matematycy udowodnili, że wielomiany HOMFLY-PT pokolorowane reprezentacjami symetrycznymi spełniają relacje rekurenycjne zakodowane w wielomianach A [GLL]. Niezależnie, stany BPS były analizowane w kontekście kołczanów i niezmienników Donaldsona-Thomasa [KS, KS11, Rei12]. Niniejsza rozprawa ma dwa główne cele. Pierwszym jest znalezienie relacji między wielomianami A oraz kołczanami z jednej strony, a węzłami i niezmiennikami BPS z drugiej. Drugi cel stanowi otrzymanie szerokiego spektrum ścisłych i jawnych wyników dotyczących struktury niezmienników BPS, a w szczególności wniesienie nowej perspektywy na hipotezę LMOV i udowodnienie jej w 1 możliwie ogólnym zakresie, korzystając ze znalezionych relacji. Wyniki tej rozprawy zostały przedstawione również w pracach [GKS16, KS16, KRSS]. Na poziomie klasycznym powyższe cele osiągnięte są przez wprowadzenie nowej krzywej algebraicznej nazwanej dualnym wielomianem A, jego ekstremalnej granicy, jak również ekstremalnych niezmienników BPS. Analiza rozwiązań równań dualnych wielomianów A prowadzi do ścisłych wyrażeń na klasyczne niezmienniki BPS dla wszystkich reprezentacji symetrycznych. Formuły te prowadzą do nietrywialnych twierdzeń o całkowitości w ramach teorii liczb, jak również do odkrycia hipotezy całkowitości silniejszej niż dotychczas znane przewidywania M-teorii. Wszystkie te wyniki zostały przedstawione w [GKS16]. Co więcej, uogólnienie relacji łączących dualne wielomiany A z niezmiennikami BPS na poziom kwantowy ujawnia nieoczekiwany związek z gałęzią matematyki znaną jako kombinatoryka na słowach [KS16]. W konsekwencji kwantowe niezmienniki BPS mogą zostać zadane w ramach modelu kombinatorycznego skonstruowanego na podstawie kwantowych dualnych wielomianów A. Model ten prowadzi do jawnych relacji rekurencyjnych spełnianych przez kwantowe niezmienniki BPS oraz do dowodu ich całkowitości dla dużej klasy węzłów. Omawiana konstrukcja kombinatoryczna prowadzi również do relacji między niezmiennikami Donaldsona-Thomasa dla kołczanu o jednym wierzchołku, a niezmiennikami BPS dla węzła trywialnego. Co istotne, związek ten okazuje się być bardziej ogólny i w [KRSS] pokazano, że funkcje generujące wielomiany HOMFLY-PT dla wielu innych węzłów mogą być zidentyfikowane jako funkcje generujące niezmienniki Donaldsona-Thomasa dla opowiednich kołczanów. Prowadzi to do zaskakującej dualności między węzłami a kołczanami, a w szczególności między węzłowymi niezmiennikami BPS, a całkowitymi niezmiennikami Donaldsona-Thomasa [KRSS]. Z tego wynika, że identyfikacja kołczanu odpowiadającego węzłowi – która dokonana została w [KRSS] dla dużej klasy węzłów – automatycznie potwierdza hipotezę Labastidy-Mariño-Ooguriego-Vafy dla wszystkich reprezentacji symetrycznych dla danego węzła. Możliwość dowodzenia hipotezy LMOV jest tylko jedną z głębokich konsekwencji dualności między węzłami a kołczanami przedstawionej w tej pracy. Podsumowując, zastosowane wielomianów A oraz kołczanów do analizy niezmienników BPS dla węzłów prowadzi do wielu nowych wyników i ciekawych powiązań, które zasługują na dalsze badania. 2 Literatura [Ati91] Michael Atiyah. On the work of Edward Witten. In I. Satake, editor, Proceedings of the International Congress of Mathematicians (Kyoto, 21-29 August 1990), volume 1, pages 31–35. Mathematical Society of Japan (Tokyo), 1991. [GKS16] Stavros Garoufalidis, Piotr Kucharski, and Piotr Sułkowski. Knots, BPS states, and algebraic curves. Comm. Math. Phys., 346(1):75–113, 2016. arXiv:1608.06600. [GLL] Stavros Garoufalidis, Aaron D. Lauda, and Thang T. Q. Lê. The colored HOMFLY-PT polynomial is q-holonomic. arXiv:1604.08502. [KRSS] Piotr Kucharski, Markus Reineke, Marko Stošić, and Piotr Sułkowski. Knots-quivers correspondence. To appear. [KS] Maxim Kontsevich and Yan Soibelman. Stability structures, motivic Donaldson-Thomas invariants and cluster transformations. arXiv:0811.2435. [KS11] Maxim Kontsevich and Yan Soibelman. Cohomological Hall algebra, exponential Hodge structures and motivic Donaldson-Thomas invariants. Commun.Num.Theor.Phys., 5:231– 352, 2011. arXiv:1006.2706. [KS16] Piotr Kucharski and Piotr Sułkowski. BPS counting for knots and combinatorics on words. JHEP, 1611:120, 2016. arXiv:1504.06327. [LM01] J. M. F. Labastida and Marcos Mariño. Polynomial invariants for torus knots and topological strings. Comm. Math. Phys., 217(2):423–449, 2001. arXiv:hep-th/0004196. [LMV00] José M. F. Labastida, Marcos Mariño, and Cumrun Vafa. Knots, links and branes at large N. JHEP, 0011:007, 2000. arXiv:hep-th/0010102. [OV00] Hirosi Ooguri and Cumrun Vafa. Knot invariants and topological strings. Nucl.Phys., B577:419–438, 2000. arXiv:hep-th/9912123. [Rei12] Markus Reineke. Degenerate cohomological hall algebra and quantized donaldson-thomas invariants for m-loop quivers. Doc. Math., 17:1, 2012. arXiv:1102.3978.

One of the most important goals of the contemporary theoretical physics is to find the unified description of all fundamental forces of nature. The Standard Model is a theory of electromagnetic, weak, and strong interactions, whereas gravitation is described by general relativity. Experimentally confirmed unification has not been achieved yet, but one of the most successful attempts is string theory. Among other achievements, it has provided a very sophisticated language for theoretical physics and mathematics. Especially the intersection between string theory and topology turned out to be extremely fruitful. In 1990 Edward Witten was awarded the Fields Medal for, among others, “the only intrinsically 3-dimensional interpretation of the Jones invariants” [Ati91] in the language of ChernSimons theory. This breakthrough can be considered as a cornerstone of the new field connecting knot theory with strings and branes. In [OV00, LM01, LMV00] Labastida, Mariño, Ooguri and Vafa introduced topological invariants which are given in terms of HOMFLY-PT polynomials of a knot and could be interpreted as a net number of BPS states. This implies the integrality of BPS invariants – that statement, known as Labastida-Mariño-Ooguri-Vafa (LMOV) conjecture, is one of the most important unsolved problems at the intersection of knot theory with string theory. Unfortunately, the relation between HOMFLY-PT polynomials and BPS invariants is very complicated and the studies of LMOV conjecture focused on considering examples in the finite range of U(N) representations corresponding to the Young diagrams made of several boxes. On the other hand, mathematicians proved that HOMFLY-PT polynomials coloured by symmetric representations satisfy recursion relations encoded in A-polynomials [GLL]. Independently, BPS states were analysed in the context of quivers and Donaldson-Thomas invariants [KS, KS11, Rei12]. The main idea of this thesis is twofold. First, its aim is to find relations between A-polynomials and quivers on one side, and BPS invariants for knots on the other side. The second aim is to use these relations to find a broad spectrum of exact and explicit results on the structure of such BPS invariants, and in particular to provide a new perspective on the LMOV conjecture 1 and prove it in a relatively general setting. The results of this thesis have been also presented in [GKS16, KS16, KRSS]. On the classical level the above aims are achieved by the introduction of a new algebraic curve called a dual A-polynomial, its extremal limit, as well as extremal BPS invariants. The analysis of solutions of dual extremal A-polynomial equations leads to exact formulas for classical extremal BPS invariants for all symmetric representations. In turn, they lead to nontrivial integrality statements in number theory, as well as to the discovery of an improved integrality conjecture, which is stronger than the known M-theory integrality predictions. All these results have been presented in [GKS16]. Furthermore, lifting the relation between dual A-polynomials and BPS invariants for knots to the quantum level reveals unexpected links with the branch of mathematics known as combinatorics on words [KS16]. In consequence quantum BPS invariants can be encoded in a combinatorial model constructed from the quantum dual A-polynomial. This model provides an explicit recursion relation satisfied by quantum BPS invariants and a proof of their integrality for a large class of knots. This combinatorial model also leads to the relation between Donaldson-Thomas invariants corresponding to a quiver with one vertex, and BPS invariants for a framed unknot. Remarkably, this relation turns out to be more general, and in [KRSS] it is shown that generating functions of HOMFLY-PT polynomials for many other knots can be identified with motivic generating series of corresponding quivers. This leads to the formulation of a correspondence between knots and quivers, and in particular between BPS invariants for knots and integer motivic Donaldson-Thomas invariants [KRSS]. It follows that once a quiver corresponding to a given knot is identified – which has been done in [KRSS] for a large class of knots – it automatically implies the proof of the LMOV conjecture for all symmetric representations for such a knot. The proof of the LMOV conjecture along these lines is just one of many other deep consequences of the duality between knots and quivers discussed in this thesis. To sum up, using A-polynomials and quivers to analyse BPS invariants for knots has provided a lot of new results and interesting connections, which deserve further studies. 2 References [Ati91] Michael Atiyah. On the work of Edward Witten. In I. Satake, editor, Proceedings of the International Congress of Mathematicians (Kyoto, 21-29 August 1990), volume 1, pages 31–35. Mathematical Society of Japan (Tokyo), 1991. [GKS16] Stavros Garoufalidis, Piotr Kucharski, and Piotr Sułkowski. Knots, BPS states, and algebraic curves. Comm. Math. Phys., 346(1):75–113, 2016. arXiv:1608.06600. [GLL] Stavros Garoufalidis, Aaron D. Lauda, and Thang T. Q. Lê. The colored HOMFLY-PT polynomial is q-holonomic. arXiv:1604.08502. [KRSS] Piotr Kucharski, Markus Reineke, Marko Stošić, and Piotr Sułkowski. Knots-quivers correspondence. To appear. [KS] Maxim Kontsevich and Yan Soibelman. Stability structures, motivic Donaldson-Thomas invariants and cluster transformations. arXiv:0811.2435. [KS11] Maxim Kontsevich and Yan Soibelman. Cohomological Hall algebra, exponential Hodge structures and motivic Donaldson-Thomas invariants. Commun.Num.Theor.Phys., 5:231– 352, 2011. arXiv:1006.2706. [KS16] Piotr Kucharski and Piotr Sułkowski. BPS counting for knots and combinatorics on words. JHEP, 1611:120, 2016. arXiv:1504.06327. [LM01] J. M. F. Labastida and Marcos Mariño. Polynomial invariants for torus knots and topological strings. Comm. Math. Phys., 217(2):423–449, 2001. arXiv:hep-th/0004196. [LMV00] José M. F. Labastida, Marcos Mariño, and Cumrun Vafa. Knots, links and branes at large N. JHEP, 0011:007, 2000. arXiv:hep-th/0010102. [OV00] Hirosi Ooguri and Cumrun Vafa. Knot invariants and topological strings. Nucl.Phys., B577:419–438, 2000. arXiv:hep-th/9912123. [Rei12] Markus Reineke. Degenerate cohomological hall algebra and quantized donaldson-thomas invariants for m-loop quivers. Doc. Math., 17:1, 2012. arXiv:1102.3978.