Statistics of return times and Hausdorff dimension

Rozprawa zawiera kilka wyników dotyczących jakościowych aspektów lematu Poincare o powracaniu. W szczególności, wskazujemy szacowania granicy $\liminf_{n\to +\infty} n^\beta d(T^n(x),x)$ (i podobnych wyrażeń) przy różnych założeniach, dla układów dynamicznych zarówno deterministycznych jak i losowych. Udowodniony jest także rozkład wykładniczy czasów powrotu/wejścia, ponownie w sytuacjach deterministycznej i losowej. Tempo powracania w danej przestrzeni zostaje powiązane z wymiarem Hausdorffa tejże przestrzeni oraz pokazujemy jak można użyć tej obserwacji do szacowania wymiaru. Dodatkowo, używając bardziej precyzyjnej metody (choć podobnej co do idei), wyznaczamy wymiar pewnych kontinuów nierozkładalnych pojawiających się naturalnie w dynamice holomorficznej dla funkcji $\lambda \exp(z)$.

The thesis contains several results concerning the quantitive aspects of Poincar\'{e} recurrence. In particular, bounds on the limit $\liminf_{n\to +\infty} n^\beta d(T^n(x),x)$ (and similar expressions) are obtained in different settings, for dynamical systems both deterministic and random. The exponential distrubution of return/entry times is proved, again in the deterministic and random situation. The recurrence within a space is linked to the Hausdorff dimension of the said space and we show how this may be used to estimate the dimension. Additionally, using a more specific method (though similar in gist), the dimension of certain indecomposable continua occuring naturally in the dynamics of $\lambda \exp(z)$ is calculated.