Quantum Metrology with Atoms and Light

Głównym celem tej dysertacji jest zaproponowanie metod tworzenia kwantowych stanów materii oraz ´swiatła i sprawdzenie mozliwo´sci wykorzystania tych stanów ˙ do precyzyjnych pomiarów wielko´sci fizycznych. Pierwsza cz ˛e´s´c tego celu realizowana jest przy pomocy formalizmu kwantowo-mechanicznego w kontek´scie teorii ultra-zimnych gazów atomowych oraz kwantowej elektrodynamiki we wn ˛ece, natomiast druga cz ˛e´s´c realizowana jest za pomoc ˛a metod teorii estymacji z informacj ˛a Fishera w roli głównej. Poł ˛aczenie powyzszych metod jest znane ogólnie pod poj ˛eciem ˙ kwantowej metrologii. W ostatnich latach wiele teoretycznego i eksperymentalnego wysiłku zostało włozonego w dziedzin ˛e kwantowej metrologii, poniewa ˙ z dzi ˛eki niej ˙ mozliwy b ˛edzie nie tylko rozwój technik pomiarowych daj ˛acych lepsz ˛a precyzj ˛e ni ˙ z˙ te same pomiary wykonane w ramach klasycznej teorii, ale takze mo ˙ ze by´c u ˙ zyta do ˙ badania fundamentalnych aspektów mechaniki kwantowej takich jak spl ˛atanie. Pierwsz ˛a metod ˛a, któr ˛a rozwazamy to mechanizm tworzenia tworzenia stanów ˙ spinowo-´sci´sni ˛etych znany jako one-axis twisting, który moze by´c zastosowany na ˙ przykład w kondensacie Bosego-Einsteina uwi ˛ezionego w podwójnej studni potencjału tworz ˛ac efektywnie kondensat dwu składnikowy. Pokazujemy, ze stany spinowo- ˙ ´sci´sni ˛ete stanowi ˛a tylko mał ˛a rodzin ˛e stanów spl ˛atanych, które mog ˛a by´c wytworzone przez Hamiltonian one-axis twisting. Ta duza rodzina stanów typu ˙ twisted zawiera nawet najbardziej spl ˛atany stan znany jako kot Schroödingera. Pokazujemy równiez jak wykorzysta´c te kwantowe zasoby w pomiarze nieznanego parametru, ˙ wykorzystuj ˛ac nieidealne detektory atomowe oraz w przypadku kiedy oddziaływanie pomi ˛edzy atomami nie jest dokładnie znane. Drugi schemat tworzenia kwantowo-skorelowanych stanów jest oparty na quantum non-demolition measurement. W metodzie tej atom przelatuj ˛acy przez wn ˛ek ˛e optyczn ˛a zostaje spl ˛atany z obecnymi w niej fotonami, a w wyniku pomiaru wykonanego na atomie nast ˛epuje kolaps funkcji falowej ł ˛acznego stanu materii i ´swiatła do nieklasycznego stanu ´swiatła. W celu uwzgl ˛ednienia strat fotonów we wn ˛ece uzywamy równania ˙ master w formie Lindblada. Pokazujemy jak takie nieklasyczne stany mog ˛a zosta´c wydobyte z wn ˛eki oraz uzyte pó ´zniej w interferometrze Macha- ˙ Zehndera. Bazuj ˛ac na funkcji Wignera wyja´sniamy równiez jakie cechy tego rodzaju ˙ stanów przyczyniaj ˛a si ˛e do niezwykle wysokiej czuło´sci interferometru. Na koniec pokazujemy, jak układ wykazuj ˛acy wła´sciwo´sci chaotyczne moze zo- ˙ sta´c badany z perspektywy metrologicznej za pomoc ˛a kwantowej informacji Fishera. Klasyczne układy chaotyczne to układy, które s ˛a bardzo czułe na warunki pocz ˛atkowe. Jednakze, kwantowe uk ˙ łady nie mog ˛a wykazywa´c takiego rodzaju dynamiki, poniewaz równanie Schrödingera jest liniowe w funkcji falowej. Mo ˙ zna jed- ˙ nak mówi´c o tak zwanych kwantowych sygnaturach chaosu. Na pocz ˛atku pokazujemy podr˛ecznikowy przykład klasycznego chaosu, jakim jest podwójne wahadło, a nast ˛epnie pokazujemy jak kwantowa informacja Fishera moze pos ˙ łuzy´c do badania ˙ charakterystycznych skal czasowych układów chaotycznych i przej´scia pomi ˛edzy porz ˛adkiem a chaosem. Takie podej´scie otwiera nowe mozliwo´sci badania zwi ˛azku ˙ pomi ˛edzy kwantowym chaosem a porz ˛adkiem.

The primary objective of this dissertation is to propose methods of generating nonclassical states of matter or light and examine the possibility of using such states in precise measurements of physical quantities. The first part of this objective is realised by using quantum-mechanical formalism with an emphasis on the theory of ultra-cold atomic gases and cavity quantum electrodynamics, and the second part is realised with methods of the theory of estimation with the Fisher information playing the pivotal role. The fusion of these methods is generally known as quantum metrology. In recent years, a lot of theoretical and experimental effort was put in the field of quantum metrology since it not only promises to develop measurement techniques that give better precision than the same measurements performed in a classical framework but also can be used to study the most fundamental aspects of quantum theory, like quantum entanglement. The first method which we consider is based on the mechanism of creating spinsqueezed states known as the one-axis twisting, which can be realised, for instance, in a Bose-Einstein condensate trapped in a double-well potential forming effectively a two-mode system. We show that the spin-squeezed states are just a small family of entangled states that can be generated by one-axis twisting Hamiltonian. This vast family of twisted states includes even the highest entangled state known as the Schrödinger’s cat. We also show how to exploit this quantum resource in a measurement of an unknown parameter with imperfect atomic detectors and when the strength of the interaction between the atoms is not precisely known. The second scheme for creating non-classical states is based on the quantum non-demolition measurement. This method involves an atom passing through an optical cavity which entangles with the photons inside the cavity and a subsequent measurement on the atom that collapses the combined matter-light state to a nonclassical state of light. To take into account photon losses in the cavity, we harness the master equation in Lindblad form. We show how such non-classical states can be extracted from the cavity and used later in a Mach-Zehnder interferometer. Based on the Wigner function, we also explain what features of this kind of states give rise to a high sensitivity of an interferometer. Finally, we show how a system that exhibits chaotic properties can be studied from the metrological perspective with the help of quantum Fisher information. Classical chaotic systems are systems that are highly sensitive to initial conditions. However, quantum systems can never exhibit this type of dynamics since the Schrödinger’s equation is linear. Therefore, one often says about quantum signatures of chaos. First, we show a textbook example of classical chaos, which is a double-rod pendulum, and, subsequently, we show how quantum Fisher information can serve to investigate characteristic time-scales of chaotic systems and the transition from integrable to chaotic dynamics. This could open a new possibility to study the relationship between the classical and quantum chaos.