Time Delays and Structured Populations in Evolutionary Game Theory

W niniejszej rozprawie badamy, w jaki sposób opóźnienia czasowe oraz struktura populacji kształtują dynamikę gier ewolucyjnych, koncentrując się zarówno na modelach deterministycznych, jak i stochastycznych. Nasze modele opierają się na równaniach różniczkowych z opóźnieniami oraz procesach stochastycznych – zarówno ergodycznych, jak i ze stanami pochłaniającymi.

W pierwszej części rozprawy analizujemy wpływ zależnych od strategii opóźnień czasowych na równania replikatorowe z logistycznym wzrostem populacji. Wykazujemy, że w zależności od rodzaju opóźnienia mogą pojawiać się oscylacje prowadzące do zjawisk bifurkacyjnych. Następnie opracowujemy model przedziałowy, w którym populacja dzieli się na klasy młodocianych i dorosłych osobników, a opóźnienie czasowe wprowadzane jest jako tempo dojrzewania opisane sprzężonymi równaniami różniczkowymi. Budujemy również stochastyczną wersję tego modelu w postaci procesu skokowego Markowa. Nasze analizy pokazują, że chociaż dynamika deterministyczna z opóźnieniem może generować oscylacje poprzez bifurkacje Hopfa, to uwzględnienie stochastyczności ujawnia nowe zachowania nieobecne w przypadku deterministycznym. W szczególności, opóźnione dojrzewanie w połączeniu ze szumem może sprzyjać współpracy w sytuacjach, w których modele deterministyczne nie przewidują takiej korzyści, co wskazuje, że opóźnienie może stanowić mechanizm wspierający współpracę.

W drugiej części rozprawy zajmujemy się procesami uarodzin–śmierci Morana w skończonych populacjach reprezentowanych przez łańcuchy Markowa z dwoma stanami pochłaniającymi. Najpierw badamy, jak początkowe umiejscowienie mutanta pojawiającego się w populacji rezydentów w populacjach o strukturze przestrzennej wpływa na proces fiksacji strategii. Wykorzystując symulacje Monte Carlo oraz przybliżenia pola średniego, pokazujemy, że prawdopodobieństwo fiksacji i czas wymarcia silnie zależą od stopnia wierzchołka mutanta – zwłaszcza w sieciach bezskalowych, gdzie mutanci pojawiający się w wierzchołkach–hubach mają znacznie inną siłę niż ci w wierzchołkach o małym stopniu. Następnie wprowadzamy opóźnione wypłaty do klasycznego procesu Morana w dobrze wymieszanych populacjach, włączając opóźnienie bezpośrednio do prawdopodobieństw reprodukcji. Łącząc obliczenia numeryczne z symulacjami, pokazujemy, że opóźnione wypłaty modyfikują zarówno prawdopodobieństwa, jak i czasy fiksacji w sposób zależny od typu gry: opóźnienia zmniejszają fiksację w grach koordynacyjnych, lecz zwiększają ją w grach antykoordynacyjnych, przy czym czasy fiksacji wykazują niemonotoniczną zależność od długości opóźnienia.

W trzeciej części rozprawy badamy współpracę w populacjach o strukturze przestrzennej. Najpierw wprowadzamy koszt uczestnictwa do klasycznej gry Dylematu Więźnia na sieciach Barabasi-Alberty z wykorzystaniem boltzmannowskiej stochastycznej reguły aktualizacji. Stosując symulacje Monte Carlo dla ergodycznego łańcucha Markowa oraz przybliżenie par, wykazujemy istnienie przejścia fazowego przy krytycznym koszcie – poziom współpracy spada nagle po przekroczeniu krytycznego kosztu. Na końcu badamy numerycznie zależne od strategii opóźnienia w przestrzennych grach Dylematu Więźnia na sieci kwadratowej. Pokazujemy, że opóźnienie wypłat zdradzających może stabilizować współpracę poprzez promowanie większych klastrów kooperantów, podczas gdy opóźnianie kooperantów ją osłabia.

Podsumowując, przedstawione w pracy wyniki stanowią systematyczny opis tego, jak zależne od strategii opóźnienia czasowe, strukturalna heterogeniczność oraz efekty stochastyczne wpływają na ewolucję populacji.

In this thesis, we investigate how time delays and structured populations shape evolutionary game dynamics, focusing on both deterministic and stochastic models. Our models are based on differential equations with time delays and stochastic processes, both ergodic and with absorbing states.

In the first part, we investigate the effect of strategy-dependent time delays on differential replicator equations with logistic population growth. We demonstrate that depending on the type of delay, oscillatory dynamics may emerge, leading to bifurcation phenomena. In the next step, we develop a compartmental model that divides the population into juvenile and adult classes, where the time delay is incorporated as the maturation rate, described by coupled differential equations. We then construct a stochastic version of our model, a Markov jump process. Our analyses show that while deterministic dynamics with delay can generate oscillations via Hopf bifurcations, the inclusion of stochasticity reveals new behaviors absent in the deterministic setting. In particular, delayed maturation combined with noise can promote cooperation in scenarios where deterministic models predict no such advantage, thereby highlighting delay as a potential mechanism favoring cooperation.

In the second part of the dissertation, we deal with Moran birth-death processes in finite populations represented by Markov chains with two absorbing states. We first investigate how the initial placement of a mutant arising in a population of residents in structured populations influences the fixation process. Using Monte Carlo simulations and mean-field approximations, we demonstrate that fixation probability and extinction times depend strongly on the degree of the mutant node, especially in a scale-free network with mutants starting on hubs facing markedly different prospects from those starting on low-degree nodes. We then introduce delayed payoffs into the classical Moran process in well-mixed populations, embedding time delay directly into reproduction probabilities. By combining numerical calculation with simulations, we show that delayed payoffs reshape both fixation probabilities and fixation times in a game-dependent way: delays reduce fixation in coordination and dominance games, but enhance it in coexistence games, with fixation times displaying non-monotone dependence on delay length.

In the third part, we examine cooperation in structured populations. First, we incorporate participation costs into the original Prisoner's Dilemma game on scale-free networks with the Boltzmannian stochastic update rule. Using Monte Carlo simulation for our ergodic Markov chain and a pair approximation, we show that cooperation undergoes a sharp phase transition at a critical cost, with cooperation levels dropping abruptly once the cost exceeds the threshold. Finally, we investigate strategy-dependent delays numerically in spatial Prisoner’s Dilemma games on a lattice network, revealing that postponing defector payoffs can stabilize cooperation by promoting larger cooperative clusters, whereas delaying cooperators undermines reciprocity, with moderate delays sometimes accelerating cluster growth before excessive latency destabilizes order.

Taken together, these contributions provide a systematic account of how strategy-dependent time delays, structural heterogeneity, and stochastic effects jointly determine evolutionary outcomes.