Weak convergence methods for equations of mathematical physics and biology

Niniejsza rozprawa stanowi zbiór wyników dotyczących matematycznej analizy pewnych równań różniczkowych cząstkowych motywowanych zagadnieniami fizyki i biologii matematycznej. Tematy, które badamy, są różnorodne ze względu na własności jakościowe oraz zastosowania – jednakże wspólną ich cechą jest potrzeba starannego rozwijania całego wachlarza metod słabej zbieżności i zwartości, nieodzownych przy analizie zjawisk nieliniowych. W pierwszej części rozprawy badamy związek pomiędzy regularnością a wielkościami zachowywanymi dla pewnych równań obecnych w mechanice płynów. Głównymi wynikami są tutaj warunki wystarczające do zapewnienia spełnienia lokalnej równości energetycznej przez słabe rozwiązania układu Eulera-Kortewega, oraz ściśliwego układu Eulera (a również Naviera-Stokesa) w zdegenerowanym przypadku występowania obszarów próżni. Następnie badamy podstawowe równanie w dziedzinie dynamiki populacji ze strukturą, a mianowicie równanie wzrostu-podziału. Jest to liniowe równanie całkowo-różniczkowe opisujące współzawodnictwo pomiędzy procesami wzrostu komórkowego a fragmentacją. Głównym wynikiem tej części rozprawy jest wykazanie, że rozwiązanie pochodzące z danych początkowych w przestrzeni nieujemnych miar Radona zbiega, w odpowiedniej normie z wagą, do stanu stacjonarnego. W ostatniej części rozprawy rozważamy dwugatunkowy model motywowany zastosowaniami w opisie wzrostu komórek nowotworowych. Równania zadające dynamikę obu gatunków są sprzężone poprzez prawo Brinkmana, tj. równanie eliptyczne wiążące ich prędkość z ciśnieniem, które jest z kolei proporcjonalne do potęgi całkowitej gęstości populacji. Uzyskane wyniki dotyczą istnienia oraz jednoznaczności słabych rozwiązań układu, oraz przejścia asymptotycznego z wykładnikiem zadającym związek pomiędzy ciśnieniem a całkowitą populacją. Ukazuje to powiązanie rozważanego modelu z geometrycznym modelem o swobodnym brzegu.

This dissertation is a collection of several results in the analysis of partial differential equations arising in mathematical physics and biology. The themes we explore are diverse in their quantitative mathematical properties and applications – yet, a common feature of our studies is the necessity of developing and implementing a variety of weak convergence and compactness methods, indispensable when dealing with nonlinear phenomena. In the first part of the thesis, we investigate the relation between regularity and conserved quantities for some equations arising in fluid dynamics. The main results here are a sufficient regularity condition for local conservation of energy for weak solutions of the Euler-Korteweg system, and an analogous study for the compressible Euler and NavierStokes equations in the degenerate case of possible vacuum formation. Next, we study the archetypal equation in the field of structured population dynamics, namely the growth-fragmentation equation, which is a linear integro-differential equation describing competition between the phenomena of aggregation and fragmentation. The main result of this part is proving that solutions emanating from initial data in the space of positive Radon measures converge, in an appropriate weighted sense, to a steady size distribution. Finally, we consider a two-species model motivated by applications in tumour modelling. The two species are coupled by an elliptic equation tying their velocity potential to the total population pressure. This link is usually referred to as Brinkman’s law. A further coupling is given by a relation between the pressure and a power of the total population density. We establish an existence and uniqueness result, and perform an incompressible limit as the stiffness of the pressure law tends to infinity. This establishes a rigorous connection with a free-boundary model of Hele-Shaw flavour.