Modelowanie matematyczne rozprzestrzeniania się gruźlicy w populacjach niejednorodnych

Głównym celem rozprawy było zweryfikowanie hipotezy badawczej mówiącej o tym, że modele krzyżowe są konieczne do właściwego opisu rozprzestrzeniania się gruźlicy w populacjach niejednorodnych. Zastosowanie oddzielnych modeli dla poszczególnych podpopulacji w populacjach niejednorodnych nie daje odpowiedzi na pytanie, czy epidemia będzie się rozprzestrzeniać w całej populacji, czy też nie - warunki dla oddzielnych modeli nie są wystarczające. Ponadto została również postawiona hipoteza, że w przypadku epidemii w populacji niejednorodnej (w rozprawie czynnikiem warunkującym niejednorodność jest stopień zachorowalności i zakażalności) może nastąpić transmisja choroby z jednej - nawet stosunkowo niewielkiej - podpopulacji do całej populacji, co powoduje rozwój epidemii. W rozprawie wykorzystane zostały modele różniczkowe oraz odpowiadające im układy różnicowe. Przedstawiona została analiza własności rozwiązań, w szczególności dodatniości i ograniczoności oraz lokalnej stabilności stanów stacjonarnych zaproponowanych modeli. W przypadku stanów stacjonarnych wybranych modeli analizowana była również stabilność globalna, zarówno za pomocą odpowiednich funkcji Lapunowa, jak również z wykorzystaniem innego podejścia, stworzonego z myślą o modelach epidemiologicznych. W przypadku układów dyskretnych odpowiednie warunki (w tym na lokalną stabilność) przedstawione zostały w zależności od kroku dyskretyzacji. Przedstawione zostały również wyniki symulacji numerycznych, które potwierdzają przydatność matematycznej analizy w przypadkach rzeczywistych. Jako dane rzeczywiste posłużyły liczebności osób zdrowych i chorych w podpopulacjach osób bezdomnych i niebezdomnych w województwie warmińsko-mazurskim w latach 2001-2018. Użyto tych danych w celu obserwacji dynamiki gruźlicy w kontekście analizy wpływu programów aktywnego wykrywania gruźlicy wśród osób bezdomnych.

The main aim of this dissertation was verification of a research hypothesis saying that criss-cross models are necessary for proper description of tuberculosis spread in heterogeneous populations. An analysis of models for separated subpopulations in heterogeneous populations does not give an answer to a question if the epidemic will spread or will not. Conditions for componential models are not sufficient. What is more, we stated an additional hypothesis saying that in case of the epidemic in the heterogeneous population (in the dissertation a level of infectivity and susceptibility is considered as a factor of heterogeneity) the illness can be transmitted from one, even relatively small, subpopulation to the whole population, what can result in the epidemic spread. In the dissertation differential models and corresponding difference systems were used. We analysed properties, in particular positivity and boundedness, of solutions and local stability of stationary states of the proposed models. In case of the stationary states of particular models, global stability was also investigated with the use of appropriate Lyapunov functions and an approach dedicated for epidemiological models as well. In case of discrete systems some conditions (including those for local stability) were presented with respect to a step size of the discretization method. We also included numerical simulations, which confirmed the utility of the mathematical analysis of the models for real cases. As real data we used numbers of healthy and infected people in the subpopulations of the homeless and non-homeless people in the Warmian-Masurian Province in Poland in years 2001-2018. We used these data for observation of the TB dynamics in the context of investigating impact of the active cases detection programmes, which were conducted among the homeless people.