Anisotropic least gradient problems

Celem niniejszej pracy jest zbadanie, jaki wpływ na istnienie, jednoznaczność i regularność rozwiązań w anizotropowym zagadnieniu najmniejszego gradientu mają geometria obszaru oraz właściwości zadanej anizotropii. W pracy poruszane są trzy różne sytuacje. W pierwszej z nich funkcja φ zadająca anizotropię jest normą. Wówczas pokazujemy istnienie rozwiązań anizotropowego zagadnienia najmniejszego gradientu dla ściśle wypukłych obszarów oraz danych brzegowych ciągłych prawie wszędzie. Szczególnie interesuje nas przypadek, gdy φ nie jest ściśle wypukła; wtedy brak zależności φ od położenia gra szczególną rolę. Drugi przypadek dotyczy sytuacji, gdy φ może zależeć także od położenia, jednak zakładamy wysoką regularność oraz jednostajną wypukłość φ. Wówczas oprócz wyniku analogicznego do poprzedniego możemy także użyć m.in. zasady maksimum dla powierzchni minimalnych do pokazania, że dla ustalonych danych brzegowych rozwiązania niekoniecznie są jednoznaczne, ale wszystkie rozwiązania mają identyczną strukturę poziomic. Wreszcie trzeci przypadek dotyczy sytuacji, gdy dziedzina Ω nie jest obszarem ograniczonym oraz wypukłym. Rozważamy dwie sytuacje: kiedy Ω jest zbiorem ściśle wypukłym, ale nieograniczonym, oraz kiedy Ω ma niespójny brzeg. Dla czytelności wywodu w drugim przypadku ograniczamy większość dyskusji do przypadku, kiedy Ω jest pierścieniem na płaszczyźnie, co umożliwia stosowanie metod pochodzących z zagadnienia optymalnego transportu.

The goal of this dissertation is to examine, in the anisotropic least gradient problem, what is the influence of the geometry of the domain and properties of the anisotropy on existence,uniqueness and regularity of the solutions. In this dissertation we consider three di erent situations. The first one is the case when φ, the function which defines the anisotropy, is a norm. Then, we show existence of solutions to the anisotropic least gradient problem for strictly convex domains and boundary data which are continuous almost everywhere. We are particularly interested in the case when φ is not strictly convex; then, the lack of dependence on location of φ is particularly important. In the second case, φ may depend also on location, but we assume high regularity and uniform convexity of φ. Then, apart from a result analogous to the previous one, we may also use e.g. the maximum principle for minimal surfaces to show that while for fixed boundarydata are not necessarily unique, all the solutions have the same frame of superlevel sets. Finally, in the third case we focus on domains Ω which are not bounded convex sets. We consider two situations: when Ω is a strictly convex set, but it is unbounded, and when the boundary of Ω is not connected. For clarity of the presentation in the second case we restrict most of the discussion to the case, when Ω is an annulus on the plane, which enables us to use methods typical for the optimal transport problem.