Analysis of interevent times by methods of statistical physics

Zagadnienie dużych strat jest kluczowe zarówno z teoretycznego punktu widzenia (w tym w analizie stochastycznej), jak i z punktu widzenia inwestorów giełdowych. Jedną z ostatnio odkrytych (przez Bogacheva, Bundego, Ludeschera i Tsallisa) i dotąd w pełni niewyjaśnionych własności strat i zysków w finansowych szeregach czasowych jest uniwersalność rozkładu czasów pomiędzy kolejnymi stratami (lub zyskami) przekraczającymi zadaną wysokość progową. Innymi słowy, rozkład ten nie zależy od rodzaju rozpatrywanego instrumentu finansowego czy skali czasowej danych, które bierzemy pod uwagę, a jedynie od zadanej wysokości progu. Podobne wyniki uzyskano także np. dla geofizycznych szeregów czasowych (dla trzęsień ziemi przekraczających zadaną magnitudę). W niniejszej rozprawie przedstawiam gruntowny opis tej uniwersalności, wykorzystujący dwa komplementarne podejścia: (i) podejście analityczne, oparte na teorii wartości ekstremalnych (extreme value theory, EVT) i na modelu błądzenia losowego w czasie ciągłym (continuous-time random walk, CTRW) oraz (ii) podejście numeryczne, oparte na modelu Pottsa z mechaniki statystycznej. Oryginalny wkład w rozwój wiedzy z dziedziny, której praca jest poświęcona, stanowią: (i) analityczny model wyżej wymienionej uniwersalności wraz z dokładnym sprawdzeniem jego poprawności za pomocą różnorodnych danych empirycznych dla strat i propozycjami zastosowań do symulacji zmian wielkości value at risk (VaR), do opisu zysków i do opisu danych geofizycznych oraz (ii) agentowy spinowy model rynków finansowych z nowatorską (jeśli chodzi o modele rynków finansowych) interpretacją zmiennej spinowej, odtwarzający szereg empirycznych faktów stylizowanych, takich jak kształt funkcji autokorelacji zwykłych i absolutnych stóp zwrotu oraz wspomniany rozkład czasów pomiędzy ponadprogowymi stratami. Wyniki przedstawione w pracy poszerzają wiedzę na temat procesów stochastycznych, modelowania agentowego, rynków finansowych oraz zjawisk geofizycznych.

The problem of excessive losses is significant in economic theory and investment practice, as well as for random processes analysis. One of the recently discovered characteristics of losses and profits on financial markets, which was discovered by Bogachev, Bunde, Ludescher, and Tsallis and is not entirely explained yet, is the universality of the distribution of times between losses (or profits) exceeding a given threshold value. In other words, this distribution does not depend on the underlying asset type or the time resolution of data, but rather only depends on the particular threshold height. Interestingly, similar results were obtained, e.g., in geophysical time series (describing the earthquakes exceeding a particular magnitude). In this thesis I present a thorough description of this universality, employing two complementary approaches: (i) an analytical approach, based on the extreme value theory (EVT) and the continuous-time random walk (CTRW) model, and (ii) a numerical approach, based on the Potts model from statistical mechanics. The thesis makes original contributions to the field of knowledge with the following: (i) an analytical model of the aforementioned universality, with a thorough empirical verification for losses and some proposed applications to value-at-risk simulation, profits description, and geophysical data description, and (ii) an agent-based spin model of financial markets with the novel interpretation of the spin variable (as regards financial-market models), reproducing the main empirical stylized facts, such as the shape of a usual and an absolute-value autocorrelation function of the returns as well as the distribution of times between superthreshold losses. These results extend the knowledge and understanding of stochastic processes, agent-based modeling, financial markets and geophysical systems.