Weighted and unweighted estimates for maximal operators

Rozprawa jest poświęcona badaniu różnych klas nierówności dla operatorów maksymalnych, zarówno w kontekście ważonym jak i bezwagowym. Wyróżniają ją następujące dwie cechy: I. Kładziemy szczególny nacisk na otrzymywanie wyników z optymalną stałą; II. Stosujemy metodę funkcji Bellmana. Motywacja dla I. wynika z faktu, ze operatory maksymalne stanowią efektywne narzędzie do studiowania szerokich klas operatorów występujących w analizie harmonicznej. W szczególności, oszacowania maksymalne często mogą być stosowane do otrzymywania odpowiednich własności ograniczoności takich operatorów. Z tej perspektywy II. jest bardzo naturalnym kierunkiem: metoda funkcji Bellmana jest narzędziem pozwalającym na badanie problemów ekstremalnych z optymalnymi stałymi. Mamy nadzieję, że funkcje specjalne oraz zunifikowane podejście zaprezentowane w niniejszej rozprawie będą mogły być dalej uogólniane i wykorzystywane w pracy nad pokrewnymi nierównościami z optymalną stałą w teorii prawdopodobieństwa i analizie harmonicznej. W całej rozprawie skupiamy się głównie na diadycznych operatorach maksymalnych i na pewnym ich uogólnieniu, tak zwanych quasi-diadycznych operatorach maksymalnych, które ma bezpośrednią interpretację w probabilistyce. Praca jest zorganizowana w następujący sposób: Rozdział 1 ma charakter wprowadzający i zawiera motywacje, potrzebne informacje wstępne i notacje. Rozdział 2 jest poświęcony opisowi metody funkcji Bellmana w kontekście oszacowań maksymalnych; to zunifikowane podejście jest kompilacją kilku prac z literatury. Główny wkład niniejszej rozprawy umieściliśmy w następnych pięciu rozdziałach. W Rozdziale 3 otrzymujemy oszacowanie ważone z optymalną stałą będące uogólnieniem nierówności Kołmogorowa: nierówności maksymalnej w L p dla p < 1. Rozdział 4 zawiera dowód twierdzenia pozwalającego na przejście od pewnego typu oszacowań bezwagowych dla diadycznego operatora maksymalnego do ich odpowiedników typu Feffermana-Steina w kontekście quasi-diadycznym. Rozdział 5 jest poświęcony pewnej nierówności maksymalnej słabego typu z wagą klasy Ap Muckenhoupta, p > 1. W Rozdziale 6 zajmujemy się oszacowaniem z optymalną stałą dla norm Lorentza funkcji maksymalnych. W ostatniej części pracy, Rozdziale 7, dowodzimy nierówności dwuwagowej z optymalną stałą dla nieco innego obiektu, tak zwanego harmonicznego operatora maksymalnego. Zawartość rozprawy jest dość techniczna, przynajmniej w niektórych miejscach. Poszukiwanie optymalnych stałych i stosowanie metody funkcji Bellmana w wielu przypadkach wymaga skomplikowanych obliczeń.

The thesis is devoted to the study of various classes of inequalities for maximal operators, both in the weighted and the unweighted settings. It is distinguished by the following two features: I. We put a particular emphasis on obtaining sharp results, i.e., deriving the optimal values of the constants involved; II. We establish the results with the use of the Bellman function method. The motivation for I. comes from the fact that maximal operators provide an efficient tool for the study of wide classes of operators appearing in harmonic analysis. In particular, maximal estimates can often be applied to obtain the appropriate boundedness properties of such operators. From this perspective, II. is a very natural direction: Bellman function method is a tool which enables the investigation of extremal problems and optimal constants. We expect that the special functions and the unified approach presented in the thesis can be further extended and exploited in the study of related sharp bounds in probability theory and harmonic analysis. Throughout, we focus mainly on the dyadic maximal operators and their certain extensions, the so-called dyadic-like maximal operators, which have a direct interpretation in the probability theory. The material is organized as follows. Chapter 1 is of an introductory character and contains some motivation, necessary background information, and notation. Chapter 2 is devoted to the description of the Bellman function method, specified to the context of maximal estimates; this unified approach is a compilation of several works from the literature. The main contribution of the thesis has been placed in the next five chapters. In Chapter 3 we obtain a sharp weighted extension of the Kolmogorov inequality: a maximal Lp estimate for p < 1. Chapter 4 contains a proof of a transference theorem which enables the passage from a certain type of unweighted estimates for the dyadic maximal operator to their Fefferman-Stein counterparts in the dyadic-like context. Chapter 5 is devoted to a certain maximal weak-type estimate in the presence of Muckenhoupt’s Ap weights, p > 1. Chapter 6 deals with a sharp Lorentz-norm inequality for maximal functions. In the finalpart of the paper, Chapter 7, we establish a sharp two-weight bound for a slightly different object, the so-called harmonic maximal operator. The contents of the dissertation is quite technical, at least at some points. The search for the optimal constants and the use of the Bellman function method makes the calculations really involved in many cases.