A Unified Approach to Opetopic Algebra

W pracy rozwijam algebraiczne podejście do zbiorów opetopowych -- oparte na monoidach w kategoriach monoidalnych. Kategorie te pochodzą z naturalnych birozwłóknień, tak jak ich struktury monoidalne. Aby ułatwić nasze konstrukcje, dostosowuję kilka pojęć teorii zwykłych kategorii do kontekstu relatywnego, tzn. 2-kategorii Cat/S. Wśród nich znajdują się własności uniwersalne, funktory sprzężone, teoria monad (obiekty Kleisliego i Eilenberga-Moore'a, monadyczność i prawa dystrybutywności) i obiekty wykładnicze.Konkretne struktury, których używam, to sygnatury. Są to zbiory symboli funkcyjnch z kilkoma (otypowanymi) wejściami, i jednym wyjściem. Sygnatury posiadają naturalne struktury monoidalne polegające na tworzeniu formalnych złożeń symboli, dopasowując wyjścia do wejść. Istnieje kilka kategorii sygnatur, różniących się morfizmami i dodatkową strukturą na symbolach.Zasadniczą ideą tego podejścia jest pojęcie struktury dystrybutywności. Formalizuje ona intuicję, że niektóre struktury, takie jak drzewa, mogą mieć dwa niezależnie rodzaje wejść -- na przykład liście i węzły. Podążając za tą intuicją konstruujemy sygnatury monoidalne, które mają dwie struktury monoidalne wraz ze strukturą dystrybutywności między nimi.Drzewa można zszywać wzdłuż liści i korzeni, ale można również wstawić całe drzewo za jeden węzeł. Te operacje są przemienne. Ta obserwacja jest podstawą konstrukcji \emph{web monoidu}. Ten funktor, z monoidów w monoidy, jest algebraicznym urządzeniem, które pozwala nam skonstruować wyżej wymiarowe opetopowe komórki z niżej wymiarowych, zaczynając od punktów i strzałek. Jest to podstawa naszej definicji zbiorów opetopowych. Jest on abstrakcyjnie zcharakteryzowany przez warunek przemienności, podobnym do tego dla zszywania i podstawiania dla drzew, który wyrażony jest za pomocą struktury dystrybutywności.Dowodzimy, że nasze podejście uogólnia, lub jest równoważne z innymi podejściami, takimi jak podejście Hermidy, Makkaia i Powera, oraz Kocka, Joyala, Batanina i Mascariego. Oryginalne podejście Baeza i Dolana też jest tej postaci, i wykazujemy, że jest niepoprawne: nie jest równoważne z powyższymi i jest sprzeczne z własną rysunkową intuicją.Na koniec wyjaśniam związek między strukturami użytymi w pracy i logiką równościową.

We develop an approach to opetopic sets based on algebra, that is monoids in monoidal categories. These categories naturally assemble into bifibrations, as do their monoidal structures. Consequently, they form monoidal bifibrations. To expedite our constructions, we adapt several notions from the theory of ordinary categories to the relative context, that is the 2-category Cat/S. These include universal properties, adjoint functors, the theory of monads (including Kleisli and Eilenberg-Moore objects, monadicity, and distributive laws), and exponential objects.The specific structures we work with are signatures. These are sets of function symbols, with multiple (typed) inputs and a single output. Signatures have natural monoidal structures given by the formation of formal composites, matching outputs to inputs. Several different categories are at play, differing in morphisms and possible extra structure on the function symbols. The conceptual core of our approach is the notion of a distributivity structure. It formalizes the idea that some structures, such as trees, can have two independent types of inputs, for example leaves and nodes. Following this intuition, we construct monoidal signatures, which have two different monoidal structures, and a distributivity structure between them.Trees can be grafted into leaves of other trees, or substituted for a single node. These operations commute with each other. This observation forms the basis of the construction of the web monoid. This functor, mapping monoids to monoids, is the algebraic device which allows us to construct higher dimensional opetopic cells from lower dimensional ones, starting with points and arrows. As such it is instrumental in our definition of opetopic sets. It is abstractly characterized by a commutativity condition, as that for grafting and substitution, which is stated using a distributivity structure.We prove our approach generalizes, or is equivalent to other algebraic approaches, such as those of Hermida, Makkai and Power, and Kock, Joyal, Batanin and Mascari. The original approach of Baez and Dolan is also of this form, and is shown to be incorrect: it is inequivalent to those mentioned, and inconsistent with its own pictorial intuition.Finally, we explain the relationship between the structures we use in our work and equational logic.