Applications of various compactness methods in the context of compressible fluid mechanics

Tematyka pracy doktorskiej skupia się na różnych metodach zwartościowych, stosowanych do konstrukcji słabych rozwiązań równań opisujących lepkie płyny ściśliwe. Zagadnienia rozpatrywane w rozprawie obejmują kwestię istnienia rozwiązań dla trzech różnych układów równań. Pierwszy otrzymany wynik dotyczy ściśliwego równania Stokesa, dla którego pokazane są istnienie oraz jednoznaczność słabych rozwiązań. Struktura tego równania pozwala na przeprowadzenie analizy na poziomie współrzędnych Lagrange'a. Sprowadza to nasz pierwotny problem do badania właściwości transformacji ze współrzędnych Lagrange'a do Eulera. Istnienie takiego przekształcenia zostało pokazane wykorzystując rezultaty Crippy i De Lellisa dotyczące stabilności dla równania transportu. W celu pokazania jednoznaczności, korzystamy z logarytmicznej nierówności dla funkcji z przestrzeni $BMO$ opracowanej przez Muchę i Rusina (2008), osłabiając jednocześnie jej założenia. Drugi wynik otrzymany w dysertacji dotyczy istnienia rozwiązań dla szczególnego przypadku płynu nienewtonowskiego. Pokazujemy istnienie słabych rozwiązań ściśliwego równania Stokesa dla cieczy, w której lepkość jest singularną funkcją szybkości ścinania. Ze względu na nieliniową strukturę tensora naprężeń, metoda opisana powyżej nie może być zastosowana. Zamiast tego, przy użyciu teorii Calder\'ona--Zygmunda dla operatorów singularnych, pokazujemy ograniczoność w przestrzeni $BMO$ dla wyrażenia $\ddiv u-p(\varrho)$, gdzie $u$ to wektor prędkości a $p(\varrho)$ oznacza ciśnienie. Otrzymana regularność pozwala na zaadaptowanie metody zwartościowej, opracowanej przez przez Feireisla, Liao i Malka (2015) w kontekście innego rodzaju płynów nienewtonowskich. Ostatnia część pracy pochyla się nad ściśliwym, bezciśnieniowym równaniem Naviera--Stokesa z nielokalnymi siłami przyciągania-odpychania. Rozważamy tu przypadek lepkości zależnej od gęstości płynu, co powoduje degenerację w tensorze naprężeń. Za pomocą oszacowań Brescha--Desjardina otrzymujemy wyższą regularność gęstości. W pierwszym kroku uzyskujemy słabe rozwiązanie na torusie z odpowiednio dostosowanym nielokalnym członem, a następnie rozszerzamy dziedzinę i w konsekwencji dostajemy wynik na całej przestrzeni. Konstrukcja rozwiązań korzysta z podejścia Vasseura i Yu (2016). W celu pokazania zwartości, otrzymujemy oszacowania Melleta--Vasseura, które zapewniają jednostajną całkowalność pewnej logarytmicznej funkcji prędkości. Nielokalny człon jest oszacowany za pomocą uogólnionej nierówności Younga dla funkcji wypukłych.

The topic of the thesis is focused on different compactness methods used to construct weak solutions to equations describing the dynamics of viscous compressible fluids. The problems considered in the dissertation include the question of existence of solutions to three different systems. The first part concerns the compressible Stokes system, where existence and uniqueness of weak solutions are obtained. The structure of this equation allows to perform the analysis at the level of the Lagrangian coordinates. This brings our original problem to the investigation of the properties of the transformation from the Lagrangian to the Eulerian coordinates. The existence of such transformation is shown using the Crippa--De Lellis stability results for the transport equation. In order to show uniqueness, we improve the logarithmic inequality for $BMO$ functions, developed by Mucha and Rusin (2008). The second outcome of the thesis consists of the existence result for the special case of a non-Newtonian fluid. It is shown that there exists a weak solution to the compressible non-Newtonian Stokes system for the case where the shear viscosity is a singular function of a shear rate. Due to the nonlinear structure of the stress tensor, the previous approach cannot be applied. Instead, using the Calder\'on--Zygmund estimates we extract the $BMO$ regularity for the quantity $\ddiv u-p(\varrho)$, where $u$ is a velocity vector and $p(\varrho)$ denotes the pressure. This information allows to adapt the compactness method, developed by Feireisl, Liao and Mal\'ek (2015) for a different class of non-Newtonian fluids. The last result concerns the compressible, pressureless Navier--Stokes equations with the nonlocal attraction--repulsion forces. We consider the case of the density-dependent viscosity, which causes the degeneracy in the stress tensor. The higher regularity of the density are obtained via the Bresch--Desjardins estimates. We first obtain a weak solution to the system on a torus, with a suitable truncation of the nonlocal term, and then extend the spatial domain to get the result in the whole space. The construction of solutions follows the approach of Vasseur and Yu (2016). In order to show the compactness of solutions, we obtain the Mellet--Vasseur estimates, which provide the uniform integrability of a certain logarithmic function of the velocity. To incorporate the nonlocal term, we apply the generalized version of the Young inequality for convex functions.