Recurrence of stochastic processes in some concentration of measure and entropy problems

Niech X = (Xi)i∈Z, gdzie Xi ∈ X a X jest (mierzaln¡) przestrzeni¡ stanów, b¦dzie procesem stochasty- cznym. Niniejsza rozprawa doktorska koncentruje si¦ na procesach czasów powrotu R = (Ri)i∈Z kolejnych powrotów Xi do A oraz ich roli zarówno w teorii prawdopodobie«stwa, jak i w teorii ergody- cznej. Przypomnijmy, »e dla danego podzbioru A ⊂ X odpowiadaj¡cy mu proces czasów powrotu jest zde niowany jako Ri =    inf{j ≥ 0 : Xj ∈ A}, i = 0, inf{j > Ri−1 : Xj ∈ A}, i ≥ 1, sup{j < Ri+1 : Xj ∈ A}, i ≤ −1. (1.1) Gªównym rezultatem rozprawy w teorii prawdopodobie«stwa jest dowód nierówno±ci Bernsteina dla funkcjonaªów addytywnych ogólnych, niekoniecznie silnie aperiodycznych, ªa«cuchów Markowa, co daje odpowied¹ na pytanie sformuªowane w pracy [1] (patrz [A3]). Dowodzimy równie» pewnej nowej wersji nierówno±ci Bernsteina dla 1-zale»nych procesów (klasa ta jest silnie zwi¡zana z ªa«cuchami Markowa dzi¦ki tzw. technice regeneracji). Gªówne rezultaty w teorii ergodycznej dotycz¡ dokªadnych wzorów, b¡d¹ nierówno±ci, zwi¡zanych z entropi¡ (ang. entropy rate) punktowego iloczynu procesów (patrz [A1]). Staj¡ si¦ one narz¦dziem do rozwi¡zania kilku otwartych problemów. Podajemy nowy, jawny wzór na ci±nienie topologiczne ukªadów BBB-wolnych oraz, w pewnych przypadkach, dowodzimy jedyno±ci stanów równowagi dla ukªadu wyznaczonego przez BBB (co rozszerza rezultaty o wewn¦trznej ergodyczno±ci udowodnione w [3, 2]). Odpowiadamy na pytanie postawione w [3] o braku wªasno±ci Gibbsa dla miary o maksymalnej entropii (patrz [A2]). W ko«cu, odpowiadamy na kilka pyta« doty- cz¡cych entropii ukªadów BBB-wolnych z pracy [2] (patrz [A1]). Cz¦±¢ rezultatów rozprawy jest nowa, pozostaªe rezultaty pochodz¡ z nast¦puj¡cych trzech artykuªów: [A1] J. Kuªaga-Przymus and M.D. Lema«czyk. Entropy rate of product of independent processes. Preprint: arXiv:2004.07648, 2020. [A2] J. Kuªaga-Przymus and M.D. Lema«czyk. Hereditary subshifts whose measure of maximal en- tropy has no Gibbs property. To appear in Colloquium Mathematicum, arXiv:2004.07643, 2020. [A3] M.D. Lema«czyk. General Bernstein-like inequality for additive functionals of Markov chains. Journal of Theoretical Probability, 2020.

Let X = (Xi)i∈Z, where Xi ∈ X and X is a (measurable) state space, be a stochastic process. The thesis is focused on the role played by the return time process R = (Ri)i∈Z of consecutive return times of X to some prescribed subset of X Z, both in probability and in ergodic theory. In the most simple case, given A ⊂ X , the corresponding return time process is de ned as Ri =    inf{j ≥ 0 : Xj ∈ A}, i = 0, inf{j > Ri−1 : Xj ∈ A}, i ≥ 1, sup{j < Ri+1 : Xj ∈ A}, i ≤ −1. (1.1) The main result on the probability side is proving a Bernstein inequality for additive functionals of general not necessarily strongly aperiodic Markov chains (see [A3]), thus answering an open question from [1]. We also prove a new version of the Bernstein inequality for 1-dependent processes (this class is strongly related to Markov chains due to the regeneration technique). On the ergodic theory side, the main results contain explicit formulas and estimates for the entropy rate of coordinatewise products of processes (see [A1]). This, in turn, serves as a tool in solving several problems. We give a new explicit formula for the topological pressure of BBB-free systems (for short BFSs). We prove the uniqueness of equilibrium measures for BFSs for potentials depending on one coordinate (thus extending the result on the intrinsic ergodicity from [3, 2]). At last, we answer open questions on the entropy of BFSs from [2] (see [A1]) and we show that the measure of maximal entropy does not satisfy the Gibbs property (see [A2]) which answers the question posed by Peckner in [3]. Part of the material included in this thesis is new, part of it is based on the following three articles: [A1] J. Kuªaga-Przymus and M.D. Lema«czyk. Entropy rate of product of independent processes. Preprint: arXiv:2004.07648, 2020. [A2] J. Kuªaga-Przymus and M.D. Lema«czyk. Hereditary subshifts whose measure of maximal en- tropy has no Gibbs property. To appear in Colloquium Mathematicum, arXiv:2004.07643, 2020. [A3] M.D. Lema«czyk. General Bernstein-like inequality for additive functionals of Markov chains. Journal of Theoretical Probability, 2020.