Kwantowy efekt Zenona dla pomiaru ciągłego

Kwantowy efekt Zenona polega na spowolnieniu ewolucji układu kwantowego wskutek powtarzanych pomiarów sprawdzających, czy układ jest w swoim stanie początkowym. Przyspieszenie ewolucji układu pod wpływem takiej procedury nosi z kolei miano kwantowego efektu Anty-Zenona. Przy czasie pomiędzy pomiarami (rzutowymi) zbiegającym do zera, uzyskiwany jest paradoksalny wynik, że ewolucja w czasie mierzonego układu jest zupełnie zatrzymana. Powszechnie przyjmowanym rozwiązaniem tego problemu jest uwzględnianie modelu detektora w dyskusji pomiaru, czyli stosowanie teorii pomiarów uogólnionych, kiedy czasy pomiędzy pomiarami są bardzo krótkie. W niniejszej rozprawie za układ kwantowy obrany jest model, w którym pojedynczy stan (wybierany jako początkowy) sprzężony jest z kontinuum stanów. Zastosowanie czynnika lorentzowskiego sprzężenia między nimi ułatwia znacząco rachunki ścisłe i numeryczne dzięki tzw. metodzie pseudomodów. Praca zawiera analizę ww. efektów dla modelu pomiaru ciągłego (czyli takiego, w którym przeprowadzono ww. przejście graniczne), w którym w każdej chwili układ obserwowany oddziałuje słabo z osobną sondą, niezależną od innych. Można przyjąć, że układ oddziałuje ze strumieniem cząstek (sond) o stacjonarnym przepływie. Wynikiem pomiaru w każdej chwili jest wielkość ciągła; korelacje tej wielkości w różnych chwilach czasu odpowiadają korelacjom operatorów kwantowych będących obserwablami -- tu jest to rzut na stan początkowy. Korelacje te można obliczyć z pomocą równania Lindblada dla układu obserwowanego. Z tych też powodów kryteria na zachodzenie ww. efektów zdefiniowane są w oparciu o wartości oczekiwane i korelacje dwupunktowe wyników pomiarów zamiast o prawdopodobieństwo ciągu pozytywnych wyników. To drugie podejście jest standardowe, więc w pierwszej kolejności nowe kryteria zastosowane są na próbę do powtarzanych pomiarów rzutowych. Forma tych kryteriów okazuje się jakościowo taka sama co w podejściu standardowym. Jednakże, przejście z wielkościami do reżimu rzadkich pomiarów i tłumionych oscylacji prawdopodobieństwa stanu początkowego (kiedy nie może być mowy o ww. efektach) jest łagodne w przeciwieństwie do przypadku z kryterium standardowym (co zbadano dla czynnika lorentzowskiego). Oprócz tego efekt Anty-Zenona przydarza się dla mniejszego zakresu parametrów. Stwierdzono także, że pomiar słaby z użyciem tylko dwóch sond (bez granicy krótkich czasów) pozwala uzyskać tzw. wartość słabą obserwabli. Przy małym sprzężeniu stanu początkowego do kontinuum prosty warunek na wartość słabą odtwarza kryteria w standardowym podejściu. Ww. wyniki uznaję za uwiarygadniające zaproponowane kryteria, więc stosuję je też w przypadku pomiaru ciągłego. Dla długich czasów trwania eksperymentu i słabego sprzężenia z kontinuum poprawki na wskutek pomiaru przyjmują postać modyfikacji do Złotej Reguły Fermiego. Uzyskano także poprawki dla krótkich czasów. Przeprowadzono także obliczenia bez przybliżeń i analizę numeryczną dla czynnika Lorentzowskiego. Wyniki są tu jakościowo podobne do wyników zastosowania nowych kryteriów dla pomiarów rzutowych. W zasadzie zidentyfikowano tym sposobem możliwy efekt rezonansu układu pomiarowego z detektorem, ale wpływ na wyniki ma ten rezonans znikomy. W ostatnim rozdziale poza podsumowaniem wskazuję na trudności, jakie spotkałaby próba definicji ciągu pozytywnych wyników przy ciągłym pomiarze. Ten problem jest wart dalszych badań.

Slowing down of a quantum system time evolution due to repeated measurements that check, if the system is in its initial state is called the quantum Zeno effect. Conversely, the speed up of the evolution under such procedure is called Anti-Zeno effect. When the time between (projective) measurements approaches zero, a paradoxical theoretical result is obtained, that the time evolution of the observed system is stopped. It is universally accepted that to solve this problem one has to take detector into account in detection model, that is, apply the generalised measurement theory when the times between measurements are very short. In this dissertation the quantum system is modelled by a single state (taken as initial one) coupled to a continuum of states. Calculations and numerical analysis are greatly simplified by taking Lorentzian form factor as describing this coupling. This is due to the so-called method of pseudomodes. The PhD thesis contains the analysis of aforementioned effects for a continuous measurement (that is, the limit of zero time intervals has been taken) in which the observed system interacts weakly with a different probe at any instance of time, independent of other probes. It could be assumed, that the system interacts with a stationary flow of particles (probes). The outcome of such measurement is a continuous variable assigned to every moment of time. Correlations of these values taken at different moments are expressed by correlations of observables. Here the observable is taken as a projection onto the initial state. These correlations can be calculated with the help of a Lindblad equation for the observed system. Due to these circumstances, criteria for Zeno or Anti-Zeno effects to occur are defined with the use of the expectation values and the two-point time correlations of the measurement outcomes. This is in contrast with a standard approach of analysing the probability of a chain of positive results. Therefore, criteria are firstly tested in the case of repeated projective measurements and are found to reproduce a qualitatively the same form of results as standard ones. However, the transition to the regime of sparse measurements and damped oscillations of the probability of the initial state (a case where the investigated effects are undefined) is smooth as compared to the case of standard criteria (this was investigated for the Lorentzian form factor). Additionally the Anti-Zeno effect occurs for smaller range of controlled parameters. Furthermore, a weak measurement using exactly two probes (with no limit of short times) allows to obtain the so-called weak value of the observable. A condition for this quantity reproduce standard criteria provided the coupling of initial state to the continuum is small. I consider these results justify the proposed criteria. Thus, I apply them to the case of continuous measurements. For long duration time of the experiment and weak coupling with a continuum, the corrections due to the measurement take the form of modified Fermi Golden Rule. Corrections for short times are also obtained. Exact calculations and numerical analysis were performed for the case of the Lorentzian form factor. In principle, a possible effect was identified of a resonance between a detector and a measured system, but the influence of this resonance on outcomes are negligible. In the last chapter I also point out the difficulties in defining a chain of positive results of the continuous measurement. This problem is worth further investigations.