Brzegi Gromowa grup hiperbolicznych jako granice odwrotne ciągów wielościanów

W niniejszej pracy badamy przedstawienia brzegów Gromowa skończenie generowanych grup hiperbolicznych w~postaci kompaktów Markowa oraz przestrzeni semi-markowowskich.Główny wynik pracy orzeka, że brzeg Gromowa dowolnej takiej grupy jest homeomorficzny z~pewnym kompaktem Markowa; fakt ten był ogólnie znany, lecz dotychczas nie podano konkretnego dowodu. Nasze rozumowanie opiera się na konstrukcji ciągu pokryć przestrzeni~$\partial G$, mającego własność \textit{quasi-$G$-niezmienniczości} ze~względu na określony przez Cannona \textit{$N$-typ kulowy} dla odpowiednio dużych wartości~$N$, a~następnie sprawdzenie, że dla dowolnego systemu~$(\mathcal{U}_n)$ pokryć tego typu w~ciągu nerwów $N(\mathcal{U}_n)$ można wybrać podciąg~$(K_n)$ stanowiący system odwrotny z~własnością Markowa.Zapewniamy również dodatkowe własności dla systemów odwrotnych reprezentujących~$\partial G$ (w~ramach opisanej konstrukcji bądź poprzez jej poprawienie). Zapewniając \textit{barycentryczność} oraz \textit{właściwość} systemu gwarantujemy, że można opisać go w~sposób skończony. Określając na granicy odwrotnej~$\liminv K_n$ naturalną metrykę i~dowodząc jej bilipschitzowskiej równoważności z~odpowiednio wybraną metryką wizualną w~przestrzeni~$\partial G$ wykazujemy, że nasza konstrukcja umożliwia opis naturalnej struktury quasi-konforemnej w~przestrzeni~$\partial G$. Wykazujemy również możliwość poprawienia wyjściowego systemu pokryć tak, by wymiary kompleksów w~otrzymanym systemie odwrotnym nie~przekraczały $\dim \partial G$. Wreszcie, dopuszczając \textit{osobliwość} w~systemie typów kompaktu (bez naruszania pozostałych własności, w~tym skończonej opisywalności) uzyskujemy pewne symplicjalne analogie jednorodności przestrzeni~$\partial G$: istnienie izomorfizmu między ``dużymi'' i ``małymi'' podkompaktami, a także odpowiednio rozumianą gęstość \textit{zwyczajnych} typów sympleksów. Obok odpowiednich twierdzeń z~topologii ogólnej, głównym narzędziem wykorzystywanym w~naszych dowodach są $N$-typy kulowe elementów grupy~$G$ oraz ich odpowiednie wzmocnienia. Na~potrzeby dwóch spośród opisanych powyżej wyników konstruujemy \textit{funkcję $B$-typu}, której wyróżniającą własnością jest rozróżnianie par pobliskich elementów $g, h \in G$ o~równej długości nawet w~przypadku torsyjnym. Konstrukcja ta umożliwia nam uogólnienie --- z~przypadku beztorsyjnego na wszystkie skończenie generowane grupy hiperboliczne --- twierdzenia o~istnieniu innej skończonej reprezentacji brzegu~$\partial G$, a~mianowicie struktury \textit{przestrzeni semi-markowowskiej} (którą można postrzegać jako odpowiednik dobrze znanej struktury automatycznej dla samej grupy~$G$).

In this thesis, we investigate presentations of Gromov boundaries of finitely generated hyperbolic groups as Markov compacta and semi-Markovian spaces.Our main result claims that the Gromov boundary of every such group is homeomorphic to some Markov compactum; this fact has been generally known, however, it seems that no particular proof of it has been ever given. Our reasoning is based on constructing a~sequence of covers of~$\partial G$, which is \textit{quasi-$G$-invariant} wrt. the \textit{ball $N$-type} (defined by Cannon) for $N$ sufficiently large. We then check that, for any system of covers~$(\mathcal{U}_n)$ of that kind, the sequence of nerves $N(\mathcal{U}_n)$ has a~subsequence~$(K_n)$ forming an inverse sequence with the Markovian property.We also ensure certain additional properties for inverse systems representing~$\partial G$ (by either deriving them from the construction or modifying its result). By making a~system \textit{barycentric} and \textit{proper}, we are guaranteed to be able to produce a~finite description which defines it uniquely. By defining a~natural metric on the inverse limit $\liminv K_n$ and proving it to be bi-Lipschitz equivalent to an accordingly chosen visual metric on~$\partial G$, we prove that our construction enables providing a~simplicial description of the natural quasi-conformal structure on~$\partial G$. We also point out that the initial system of covers can be modified so that all the simplices in the resulting inverse system are of dimension less than or equal to $\dim \partial G$. Finally, by allowing a~\textit{singularity} in the type system to appear (with no harm for the other properties, including finite describility), we obtain certain simplicial analogues of topological homogeneity of~$\partial G$. One of them is the existence of isomorphisms between ``large'' and ``small'' subcompacta, the other is (appropriately understood) \textit{density} of simplex types.Apart from several results in general topology, the main tool used in our proofs is the notion of ball $N$-type of elements of~$G$ and its appropriate strengthenings. Among the results described above, there are two which rely on the \textit{$B$-type function}, with its distinctive property being that it cannot --- even in the torsion case --- return the same value for a~pair of nearby elements $g, h \in G$ of equal length. This property of $B$-type allows us to generalize --- from the torsion-free case to all finitely generated hyperbolic groups --- a~theorem guaranteeing the existence of~a~finite representation of~$\partial G$ of another kind, namely a~\textit{semi-Markovian structure} (which can be understood as an analogue of the well-known automatic structure of $G$ itself).