Estimates of suprema of stochastic processes with application of the chaining method

Niniejsza rozprawa poświęcona jest badaniom wniosków płynących z twierdzenia Bednorza-Latały dotyczącego charakteryzacji procesu Bernoulliego rozumianego jako rodzina $(B_t)_{t\in T}$, gdzie $B_t=\sum_{i\geq1}\varepsilon_i t_i$, $(\varepsilon_i)_{i\geq1}$ jest ciągiem niezależnych zmiennych Bernoulliego spełniających $\mathbb{P}(\varepsilon_i=-1)=\mathbb{P}(\varepsilon_i=1)=1/2$, $T\subset\ell^2$. Twierdzenie to mówi, że $b(T):=\E\sup_{t\in T}B_t$ porównywalne jest z $$\inf\{\sup_{t\in T_1}\|t\|_1+\gamma_2(T_2,d_2):\; T\subset T_1+T_2\},$$ gdzie $\|\cdot\|_1$ jest normą w $\ell^1$, a $\gamma_2$ jest liczbą $\gamma_2$ Talagranda. Główne wyniki rozprawy dają pozytywną odpowiedź na hipotezy dotyczące dekompozycji procesów nieskończenie podzielnych, procesów empirycznych i procesów selektorowych postawionych w \cite{Tal1}. Wyniki te oparte są na przeformułowaniu pochodzącym od M. Talagranda dolnego oszacowania $b(T)$ w terminach specjalnego funkcjonału $$\int_T I_{\mu}(t)\mu(dt),$$ gdzie $\mu$ jest pewną miarą probabilistyczną na $T$.\\ Rozprawa zajmuje się również pewnymi uogólnieniami zasady kontrakcji dla procesów Bernoulliego i nierównością typu L\'eviego-Ottavianiego dla procesów Bernoulliego ze współczynnikami monotonicznymi

In the following thesis we are studying some consequences of Bednorz-Lata\l{}a theorem concerning the characterization of the Bernoulli process given by the collection $(B_t)_{t\in T}$, where $B_t=\sum_{i\geq1}\varepsilon_i t_i$, $(\varepsilon_i)_{i\geq1}$ is a sequence of independent Bernoulli variables satisfying $\mathbb{P}(\varepsilon_i=-1)=\mathbb{P}(\varepsilon_i=1)=1/2$ and $T\subset\ell^2$. It states that $b(T):=\E\sup_{t\in T}B_t$ is comparable with $$\inf\{\sup_{t\in T_1}\|t\|_1+\gamma_2(T_2,d_2):\; T\subset T_1+T_2\},$$ where $\|\cdot\|_1$ is the $\ell^1$ norm and $\gamma_2$ is Talagrand's $\gamma_2$-number. The main results of this thesis provide positive answers to the conjectures concerning decompositions of infinitely divisible processes, empirical processes and selector processes posed in \cite{Tal1}. They are based on the refolmulation due to M. Talagrand of the lower bound of $b(T)$ in terms of a special functional $$\int_T I_{\mu}(t)\mu(dt),$$where $\mu$ is some probability measure on $T$.\\ This thesis includes also some generalizations of the contraction principle for Bernoulli processes and L\'evy-Ottaviani type of inequality for the Bernoulli process with monotone coefficients.