Podporządkowane ruchy Browna na fraktalach i związane z nimi losowe operatory Schrödingera

W tej rozprawie rozważamy relatywistyczny proces stabilny na przestrzeniach metrycznych (F, ρ, μ) będących d−zbiorami. Znajdujemy oszacowanie na jego gęstość przejścia a następnie wyznaczamy dziedzinę formy Dirichleta i podajemy jej postać. Wprowadzamy definicję nieograniczonych fraktali zagnieżdżonych K⟨∞⟩ wraz z ich podstawowymi własnościami i udowadniamy twierdzenia dotyczące oszacowań gęstości przejścia dla procesów stabilnych i relatywistycznych na tejże przestrzeni, odbijanych przy dojściu do brzegu. Ponadto rozważamy temat całkowej gęstości stanów (IDS) i dowodzimy twierdzeń dotyczących istnienia osobliwości Lifschitza IDSu dla proces ów podporządkowanych na nieskończonych fraktalach zagnieżdżonych z potencjałem typu kratowego i Poissonowskiego.

In this dissertation we consider a relativistic stable process over the me- tric spaces (F, ρ, μ) being d− sets. We find an estimate for its transition density and determine the domain of the Dirichlet form and give its form. We introduce a definition of unbounded nested fractals K⟨∞⟩ with their ba- sic properties and prove the theorems regarding transition density estimates for reflected stable and relativistic processes in this space. In addition, we consider the topic of integrated density of states (IDS) and prove the the- orems concerning the Lifschitz singularity of IDS for subordinate processes on infinite nested fractals with alloy-type and Poisson potentials.