Isolated horizons in spacetimes with cosmological constant

Teoria izolowanych horyzontów, będąca przedmiotem niniejszej pracy, została zastosowana w kontekście uogólnionych czarnych dziur i promieniowania grawitacyjnego dla czasoprzestrzeni ze stałą kosmologiczną. Wewnętrzna geometria takich horyzontów składa się z indukowanego zdegenerowanego tensora metrycznego i pochodnej kowariantnej. Zakładając, że równania Einsteina są spełnione na horyzoncie oraz nakładając warunek stacjonarności do drugiego rzędu można generycznie wyznaczyć czasoprzestrzenny tensor Weyl’a na izolowanym horyzoncie. W konsekwencji możliwe jest przeprowadzenie pełnej klasyfikacji typów Petrova izolowanych horyzontów. W szczególności analizie poddane zostały horyzonty typu D, których warunek ma postać równania różniczkowe go drugiego rzędu na niezmiennik składający się z krzywizny Gaussa i skalara rotacji. Równanie to nazywane jest równaniem Petrova typu D ze stałą kosmo logiczną, a jego ogólne własności oraz rozwiązania uzyskane zostały dla różnych struktur topologicznych horyzontu i stanowią znaczną część niniejszej pracy. W pierwszej kolejności zbadane zostały horyzonty o topologii S2 × R i symetrii osiowej. Znalezione zostały wszystkie rozwiązania równania typu D, pokazano również, że są one zanurzalne w czasoprzestrzeniach Schwarzschilda/Kerra- (anty)de Sittera lub w czasoprzestrzeniach near extremal horizon, uzyskanych poprzez graniczną postać Horowitza ekstremalnej metryki Schwarzschilda/Kerr- (anty)de Sittera. Pokazano, że rodzina rozwiązań może być sparametryzowana za pomocą dwóch parametrów, pola powierzchni i momentu pędu, co stano- wiło podstawę do sformułowania lokalnej wersji twierdzenia o braku włosów czarnej dziury. Jest to uogólnienie wcześniejszego wyniku obowiązującego dla zerowej stałej kosmologicznej. Ponadto, rozważane były izolowane horyzonty o przestrzennym cięciu będącym powierzchnią o genusie> 0. Okazało się, że je- dynymi rozwiązaniami są te o stałej krzywiźnie Gaussa i zerowej rotacji. W konsekwencji, przedstawiony został quasi-lokalny argument, mówiący o tym, że rotujące czarne dziury w 4-wymiarowych czasoprzestrzeniach mają przestrzenny przekrój odpowiadający topologicznej 2-sferze. Wreszcie, poddane analizie zostało równanie Petrova typu D ze stałą kosmologiczną na horyzontach generowanych przez krzywe zerowe tworzące nietrywialne wiązki włókniste U (1). Równanie to łączy koneksję U (1), metrykę na 2-wymiarowej rozmaitości bazo- wej i grawitację powierzchniową w nietrywialny sposób. Wyprowadzone zostały wszystkie rozwiązania osiowo-symetryczne, które wyznaczają 4-wymiarową rodzinę izolowanych horyzontów. Pokazano, że przypadek nierotujący zanurzalny jest w czasoprzestrzeniach Tauba-NUTa-(anti) de Sittera, natomiast w ogólnym przypadku nie są one zanurzalne w czasoprzestrzeniach Kerra-NUTa-(anti) de Sittera. Równanie na typ D spełnione jest również przez ekstremalny izolowany hori- zon niezależnie od typu Petrova tensora Weyla. W związku z tym nasze rezultaty stosują się również do równania near horizon geometry opisującego ekstremalny horyzont. W rezultacie znaleźliśmy wszystkie rozwiązania równania near horizon geometry na 2-wymiarowych powierzchniach o genusie> 0. Pojęcie izolowanych horyzontów jest również stosowane w kontekście promie- niowania grawitacyjnego, gdzie izolowany horyzont służy jako uogólnienie konforemnego brzegu dla czasoprzestrzeni Minkowskiego na przypadek czasoprzestrzeni o dodatniej stałej kosmologicznej. Poddane analizie zostało zmieniające się w czasie źródło materii w czasoprzestrzeni de Sittera emitujące promieniowa- nie grawitacyjne. Wyprowadzony został wzór na strumień energii przechodzący przez horyzont kosmologiczny, który wyrażony został przez kwadrupolowe momenty masy i ciśnienia. Został on zapisany explicite do pierwszego rzędu w parametrze Hubble’a H := √Λ/3. Stwierdzono, że człon zerowego rzędu odtwarza wzór kwadrupolowy Einsteina dla perturbowanej czasoprzestrzeni Minkowskie- go, natomiast człon pierwszego rzędu jest nową poprawką.

The theory of isolated horizons is considered in the context of generic black holes and gravitational radiation in spacetimes with cosmological constant Λ. Intrinsic geometry of such horizons consists of the induced degenerate metric tensor and covariant derivative. Assuming embeddability in Λ-vacuum Einstein’s equations and imposing a condition on stationarity to the second order allow to generically determine the spacetime Weyl tensor on the horizon, and based on its property provide a complete classification of the Petrov types of isolated horizons. Condition distinguishing the type D horizon is derived and takes a form of a second order differential equation on a complex invariant constructed from a Gaussian curvature and rotation scalar. It is referred to as the Petrov type D equation with cosmological constant and its general properties as well as solutions considering various structures of the horizons constitute a significant part of this work. To start with, axisymmetric horizons of the topology: S2 × R are investigated. All the solutions to type D equation with cosmological constant are derived and found to be embeddable in the Schwarzschild/Kerr-(anti) de Sitter spacetimes or the near extremal horizon spacetimes obtained by the Horowitz limit form the extremal Schwarzschild/Kerr-(anti) de Sitter metric. The family of solutions may be parametrized by two parameters, the area and angular momentum, which provides the foundation for formulating the local version of the no-hair theorem. It is a generalization of the earlier result valid for the vanishing cosmological constant. Furthermore, the isolated horizons with spacelike cross-sections of genus> 0 are considered. The only solutions are those with con- stant Gaussian curvature and no rotation. Consequently, a quasi-local argument is provided for the rotating black holes in 4-dimensional spacetimes to have a cross section of a topological 2-sphere. Finally, we consider the Petrov type D equation with cosmological constant on horizons generated by null curves that form nontrivial U (1)-bundles. The type D equation couples the U (1) connection, 2-metric of the base manifold and surface gravity in a nontrivial form. We derive all axisymmetric solutions which set a 4-dimensional family of isolated horizons and discuss the issue of their embeddability. The type D equation with cosmological constant is also satisfied by extremal isolated horizons regardless of the Petrov type of the Weyl tensor on the horizon. Therefore, our results may be applied to the near horizon geometry equation for the extremal horizons. Consequently, we found all solutions to the near horizon geometry equation on the 2-surfaces of genus> 0. The notion of isolated horizons is also applied in context of gravitational radiation, where the isolated horizon serves as a generalization of the conformal boundary in Minkowski case for spacetimes with positive cosmological constant. We consider a time changing matter source in de Sitter spacetime emitting gravitational radiation. The formula for the energy flux passing through a co- cosmological horizon is derived and expressed in terms of the mass and pressure quadruple moments. It is written explicitly up to the first order in Hubble pa- parameter H := √Λ/3. We found that the zeroth order term coincides with the Einstein’s quadruple formula for the perturbed Minkowski spacetime, whereas the first order term is a new correction.