Kalkulacja składki w ubezpieczeniach komunikacyjnych a zależność między liczbą i wartością szkód

Niniejsza rozprawa poświęcona została tematyce kalkulacji składki w ubezpieczeniach komunikacyjnych w sytuacji, gdy standardowo przyjmowane założenia nie są spełnione. Przy wyznaczaniu składki w praktyce ubezpieczeniowej bowiem często przyjmuje się założenie o niezależności liczby i wartości szkód w całym portfelu lub w pewnych jego częściach wyróżnionych na podstawie wybranych cech taryfowych, tymczasem bez trudu możemy wyobrazić sobie sytuacje, w których założenie to nie będzie spełnione. Z tego względu w pierwszej części niniejszej rozprawy zaproponowany został model ogólnej zależności między liczbą i wartością szkód w populacji ubezpieczonych jednorodnych pod względem cech taryfowych, a także wyznaczona została na jego podstawie ogólna postać składki netto. Co istotne, w zaprezentowanym modelu ogólnym zagnieżdżony jest prostszy model stosowany zazwyczaj w praktyce ubezpieczeniowej, a jeżeli spełnione jest założenie o niezależności liczby i wartości szkód, postać składki netto wyznaczona na podstawie modelu ogólnego jest taka sama jak prostsza, standardowo stosowana postać. Na podstawie modelu ogólnego skonstruowany został także prosty test pozwalający sprawdzić, czy w próbie pojawia się zależność liczby i wartości szkód skutkująca niepoprawnością standardowej postaci składki. Co ciekawe, test ten opiera się na wynikach uzyskanych na podstawie prostej regresji liniowej, co oznacza, że jego praktyczna implementacja nie powinna nastręczać większych trudności. W drugiej części niniejszej rozprawy przyjęte zostały nieco bardziej ogólne założenia, zgodnie z którymi ubezpieczeni mogą różnić się między sobą pod względem cech taryfowych – na podstawie założeń tych ponownie został stworzony model ogólnej zależności między liczbą i wartością szkód, a także wyznaczona została postać składki netto. Co ciekawe, mimo większej ogólności przyjętych założeń uzyskane na tej podstawie wyniki są w dużym stopniu analogiczne do rezultatów zaprezentowanych w pierwszej części rozprawy. Po pierwsze, zaproponowany model ogólny ponownie zawiera w sobie prostszy model stosowany w praktyce, a przy założeniu o niezależności liczby i wartości szkód ogólna postać składki netto upraszcza się do standardowo stosowanej postaci. Ponadto, test występowania zależności między liczbą i wartością szkód w przypadku bardziej złożonych modeli ze składnikiem regresyjnym nadal opiera się na wynikach prostej regresji liniowej, tym razem jednak, aby możliwe było jego zastosowanie, w pierwszym kroku musimy dokonać podziału portfela na podpopulacje jednorodne pod względem cech taryfowych mających wpływ zarówno na liczbę, jak i wartość szkód ubezpieczonych, a dopiero w drugim kroku w każdym z wyróżnionych podportfeli możemy przeprowadzić test występowania zależności między liczbą i wartością szkód. Wszystkie wyniki zaprezentowane w dwóch pierwszych rozdziałach rozprawy uzyskane zostały na gruncie teorii zaufania, która doskonale sprawdza się w przypadku portfeli typowych dla ubezpieczeń komunikacyjnych, tj. złożonych z dużej liczby ubezpieczonych obserwowanych przez stosunkowo krótki okres. Warto przy tym podkreślić, że zaprezentowane w tej części rozprawy wyniki stanowią oryginalne osiągnięcie Autorki i jako takie pozwalają zapełnić istotną lukę w istniejącej literaturze przedmiotu. Dotychczas bowiem jedyną formą zależności między liczbą i wartością szkód, jaką udawało się wychwycić w badaniach empirycznych, była zależność wynikająca z różnic w pewnych cechach taryfowych ubezpieczonych (np. różnice w częstotliwościach i średnich wartościach szkód kierowców z aglomeracji miejskich i kierowców poruszających się głównie poza miastami). Tymczasem w niniejszej rozprawie zaproponowany został prosty w implementacji sposób pozwalający odpowiedzieć na dotychczas bardzo rzadko stawiane pytanie, czy w dostępnej próbie pojawia się wewnątrzgrupowa zależność liczby i wartości szkód wynikająca z czynników innych niż uwzględnione w podziale portfela oraz taryfikacji obserwowalne cechy ubezpieczonych. Ponieważ jednak rozkłady wartości szkód spotykane w ubezpieczeniach komunikacyjnych mają pewne specyficzne własności utrudniające przeprowadzenie wnioskowania statystycznego na podstawie prostego testu opartego na regresji liniowej, takie jak np. wysoka wariancja, silna asymetria czy też leptokurtoza, w trzeciej części niniejszej rozprawy dokonany został przegląd zaproponowanych w literaturze ekonometrycznej metod estymacji i wnioskowania statystycznego, przy pomocy których można przetestować hipotezę o niezależności liczby i wartości szkód ubezpieczonych. Pierwszą część rozdziału poświęcono najczęściej stosowanym w kontekście regresji liniowej Metodzie Najmniejszych Kwadratów oraz testowi t-Studenta. W kolejnych podrozdziałach natomiast przedstawiono bardziej szczegółowo metody alternatywne, które zdaniem wielu autorów powinny mieć lepsze własności statystyczne niż estymacja MNK w połączeniu z testem t-Studenta w przypadku prób o właściwościach takich, jak te rozważane w niniejszej rozprawie. Co jednak ciekawe, przeprowadzone w ostatniej części niniejszej rozprawy obszerne symulacje Monte Carlo sugerują, że zarówno w przypadku portfeli jednorodnych, jak i niejednorodnych pod względem charakterystyk obserwowalnych, estymacja MNK w połączeniu z testem istotności przeprowadzonym za pomocą odpornej na heteroskedastyczność metody t-Studenta cechuje się w pełni satysfakcjonującymi własnościami statystycznymi. W przypadku mniejszych portfeli ubezpieczonych nieróżniących się od siebie pod względem cech taryfowych można także rozważyć stosowanie estymacji MNK w połączeniu z testem istotności przeprowadzonym za pomocą metody dzikiego bootstrapu, ponieważ w takim przypadku mają one najlepsze własności spośród wszystkich metod zaprezentowanych w niniejszej rozprawie. W przypadku prób większych lub obserwowanych przez dłuższy okres przewaga dzikiego bootstrapu powinna być mniej widoczna ze względu na znaczącą poprawę własności odpornej na heteroskedastyczność metody t-Studenta uzyskaną wraz ze wzrostem liczebności lub wydłużaniem się okresu obserwacji portfela. Na zakończenie warto ponadto zauważyć, że, w odróżnieniu od wyników uzyskanych przez innych autorów, w niniejszym badaniu najlepszymi własnościami cechuje się wariant dzikiego bootstrapu oparty na rozkładzie Mammena, a nie na rozkładzie Rademachera, co oznacza, że w przypadku prób rozważanych w niniejszej rozprawie dużo istotniejsze, niż zachowanie odpowiedniego poziomu kurtozy, jest prawidłowe odwzorowanie w kolejnych losowaniach próbek bootstrapowych asymetrii rozważanego rozkładu.