Zastosowanie hamiltonowskiej teorii promieniowania do analizy własności radiacyjnych pól fizycznych

Rozprawa przedstawia wyniki dotyczące zastosowania formalizmu hamiltonowskiego do opisu promieniowania w trzech klasycznych teoriach pola opartych na równaniu falowym: teorii pola skalarnego, elektrodynamice i liniowej grawitacji. Do analizy zagadnienia promieniowania zaproponowaliśmy użycie nowego podejścia, które polega na badaniu ewolucji pola w obszarze czasoprzestrzeni ograniczonym stożkiem świetlnym. Sformułowaliśmy dynamikę hamiltonowską dla danych początkowych określonych na fragmencie hiperboloidy leżącej wewnątrz stożka świetlnego, uzupełnionych przez dane na tym stożku świetlnym. Rolę hamiltonianu pełniła "energia Trautmana-Bondiego" związana z danymi na fragmencie hiperboloidy, uzupełniona przez "energię promieniowania", związaną z danymi na stożku świetlnym. Wykonując przejście graniczne, polegające na przesunięciu stożka do nieskończoności, otrzymaliśmy rzeczywiste zagadnienie promieniowania wyrażone przez dynamikę hamiltonowską danych początkowych na całej hiperboloidzie i w nieskończoności świetlnej (nazywanej scri). W szczególności dostaliśmy hamiltonowską interpretację energii Trautmana-Bondiego, którą zdefiniowaliśmy w każdej z rozważany teorii. To podejście pozwoliło nam również w prosty sposób zidentyfikować dane radiacyjne w nieskończoności świetlnej, otrzymaliśmy je z danych określonych na brzegu skończonego stożka świetlnego wykonując odpowiednie przejście graniczne. Zaproponowaną metodę opisu promieniowania zastosowaliśmy w teorii bezmasowego pola skalarnego analizując oddzielnie przypadek w dwu- i czterowymiarowej czasoprzestrzeni Minkowskiego. Podaliśmy ogólny sposób rozwiązania problemu warunków zgodności dla danych Cauchy'ego na hiperboloidzie i danych radiacyjnych na scri (tzw. warunków w rogu), konieczny do poprawnego zdefiniowania hamiltonowskiego układu dynamicznego. Znaleźliśmy hamiltonian generujący dynamikę oraz zbadaliśmy strukturę kanoniczną danych radiacyjnych na scri. Dodatkowo, w przypadku dwuwymiarowej czasoprzestrzeni Minkowskiego, wyznaczyliśmy jawne wzory na transformację między danymi na hiperboloidzie a danymi na stożku świetlnym. Korzystając z tych wzorów udowodniliśmy, że transformacja między tymi danymi jest symplektomorfizmem. W hamiltonowskim opisie promieniowania w elektrodynamice wykorzystaliśmy fakt, że cała dynamika pola elektromagnetycznego może zostać zredukowana do wielkości skalarnych, niezmienniczych ze względu na cechowanie. Wyraziliśmy dynamikę na hiperboloidzie i stożku świetlnym za pomocą tych wielkości. Następnie udowodniliśmy, że ich dynamika jest równoważna dynamice dwóch niezależnych, bezmasowych pól skalarnych. Ta równoważność pomogła nam poprawne zdefiniować hamiltonowską ewolucję całego układu, czyli ewolucję danych początkowych na fragmencie hiperboloidy wraz z danymi na brzegu stożka, oraz zidentyfikować radiacyjne stopnie swobody pola elektromagnetycznego na scri. Analizę promieniowania w liniowej grawitacji rozpoczęliśmy od wyprowadzenia równań pola na hiperboloidzie, otrzymaliśmy je linearyzując równania Einsteina zapisane w postaci ADM. Następnie skorzystaliśmy z faktu, że dynamikę można zredukować do dwóch, niezależnych stopni swobody, wyrażanych przez wielkości niezmiennicze ze względu na cechowanie. W tej pracy zajmowaliśmy się jednym, tzw. aksjalnym, stopniem swobody. Pokazaliśmy, że dynamika aksjalnego stopnia swobody jest równoważna dynamice bezmasowego pola skalarnego. To pozwoliło nam wykorzystać wyniki otrzymane w teorii pola skalarnego i elektrodynamice do sformułowania liniowej grawitacji jako układu hamiltonowskiego, opisującego dynamikę danych na hiperboloidzie i scri.

This dissertation presents the Hamiltonian description of radiation phenomena in three classical field theories based on the wave equation: scalar field theory, electrodynamics and linear gravity. We proposed a new approach to the problem of radiation which involves the study of field evolution in the region of spacetime bounded by a light cone. We formulated Hamiltonian dynamics of initial data on a part of hyperboloid within the light cone, supplemented by an appropriate data on its boundary. The Hamiltonian function was composed of the "Trautman-Bondi energy" assigned to data on the hyperboloid, and completed by the "radiation energy" related to data on the light cone. Performing a limiting transition, where the cone is shifted to infinity, we obtained a real radiation problem expressed by Hamiltonian dynamics of the initial data on the entire hyperboloid and at the light infinity (called the scri). In particular, we achieved the Hamiltonian interpretation of the Trautman-Bondi energy, which was defined for each of investigated theories. This approach also allowed us to identify easily the radiation data at the light infinity. We obtained them from the data on the light cone considering limiting transition.We used our method of description of radiation in the massless scalar field theory analyzing the case of two- and four-dimensional Minkowski spacetime separately. We proposed a universal approach, which solves the problem of compatibility conditions for Cauchy data on the hyperboloid and the radiation data on the scri (often called corner conditions), necessary to obtain a well defined Hamiltonian dynamical system. We found the Hamiltonian function generating dynamics and examined canonical structure on the space of radiation data on the scri. Additionally, in case of a two-dimensional Minkowski spacetime we derived explicit formulas for the transformation between the data on the hyperboloid and the data on the light cone. Using these formulas we proved that this transformation is a symplectomorphism. In the Hamiltonian description of radiation in electrodynamics we used the fact that the whole evolution of the electromagnetic field can be reduced to gauge invariant scalar quantities. We represented the field dynamics on the hyperboloid and on the light cone through these quantities.We then proved that their dynamics is equivalent to the dynamics of the two independent massless scalar fields. This equivalence helped us to define correctly the Hamiltonian evolution of the entire system, which means evolution of the initial data on a part of the hyperboloid and on the boundary of the light cone, and identify radiative degrees of freedom of the electromagnetic field on the scri. In linear gravity we began an analysis of radiation from the derivation of the field equations on a hyperboloid, we received ones from linearization of the Einstein equations in the ADM form. Then we used the fact that the dynamics can be reduced to two independent degrees of freedom represented by gauge invariant quantities. In this thesis we considered one degree of freedom, so called axial degree of freedom. We showed that dynamics of axial degree of freedom is equivalent to dynamics of the massless scalar field. This allowed us to exploit the results obtained in the theory of scalar field and electrodynamics to formulate linear gravity as a Hamiltonian dynamical system, which describes the field dynamics on the hyperboloid and on the scri.