Geometric properties of measures in finite-dimensional dynamical systems

Poniższa rozprawa składa się z dwóch części. Obie z nich badają geometryczne własności miar występujących w skończenie wymiarowych układach dynamicznych, głównie z punktu widzenia teorii wymiaru. Część pierwsza dotyczy probabilistycznych aspektów twierdzenia Takensa o zanurzaniu, zajmującego się zagadnieniem rekonstrukcji układu dynamicznego z ciągu pomiarów wykonanych za pomocą jednowymiarowej obserwabli. Klasyczne wyniki z tej dziedziny orzekają, że dla typowej obserwabli, dowolny stan początkowy układu jest jednoznacznie wyznaczony przez ciąg pomiarów, o ile ich ilość przekracza dwukrotnie wymiar przestrzeni fazowej. Główny wynik tej części rozprawy stwierdza, że w kontekście probabilistycznym liczba pomiarów może być dwukrotnie zmniejszona, tzn. prawie każdy stan początkowy układu jest wyznaczony jednoznacznie, o ile ilość pomiarów jest większa od wymiaru Hausdorffa przestrzeni fazowej. Powyższy wynik dowodzi częściowo hipotezy Shroera, Sauera, Otta oraz Yorka z 1998 roku. Przedstawiamy także niedynamiczną wersję probabilistycznego twierdzenia o zanurzaniu oraz szereg przykładów. W drugiej części rozprawy rozważamy rodzinę stacjonarnych miar probabilistycznych dla pewnych losowych układów dynamicznych na odcinku jednostkowym oraz badamy ich własności geometryczne. Rozważane miary mogą być traktowane jako miary stacjonarne dla procesu Markowa na odcinku, otrzymanego przez losowe iterowanie dwóch kawałkami afinicznych homeomorfizmów odcinka. Układy tej postaci nazywamy układami Alsedy-Misiurewicza (albo AM-układami), gdyż badania nad nimi rozpoczęli Alseda oraz Misiurewicz, którzy postawili w 2014 roku hipotezę, że typowe miary stacjonarne dla takich układów są singularne względem miary Lebesgue'a. Głównym celem naszej pracy jest scharakteryzowanie parametrów posiadających tę własność. Naszym głównym wynikiem jest znalezienie pewnych zbiorów parametrów dla których odpowiednie miary są singularne, co dowodzi powyższą hipotezę dla tych zbiorów. Przedstawiamy dwa różne podejścia do dowodzenia singularności - jedno oparte na znajdowaniu minimalnych niezmienniczych zbiorów Cantora oraz drugie, wykorzystujące szacowanie oczekiwanego czasu powrotu do odpowiednio dobranego przedziału. W pierwszym przypadku wyliczamy wymiar Hausdorffa miary stacjonarnej dla pewnych parametrów. Przedstawiamy również kilka dodatkowych wyników dotyczących AM-układów.

This dissertation consists of two parts, both studying geometric properties of measures occuring in finite-dimensional dynamical systems, mainly from the point of view of the dimension theory. The first part concerns probabilistic aspects of the Takens embedding theorem, dealing with the problem of reconstructing a dynamical system from a sequence of measurements performed via a one-dimensional observable. Classical results of that type state that for a typical observable, every initial state of the system is uniquely determined by a sequence of measurements as long as the number of measurements is greater than twice the dimension of the phase space. The main result of this part of the dissertation states that in the probabilistic setting the number of measurements can be reduced by half, i.e. almost every initial state of the system can be uniquely determined provided that the number of measurements is greater than the Hausdorff dimension of the phase space. This result partially proves a conjecture of Shroer, Sauer, Ott and Yorke from 1998. We provide also a non-dynamical probabilistic embedding theorem and several examples. In the second part of the dissertation we consider a family of stationary probability measures for certain random dynamical systems on the unit interval and study their geometric properties. The measures we are interested in can be seen as stationary measures for Markov processes on the unit interval, which arise from random iterations of two piecewise-affine homeomorphisms of the interval. We call such random systems Alseda-Misiurewicz systems (or AM-systems), as they were introduced and studied by Alseda and Misiurewicz, who conjectured in 2014 that typically measures of that type should be singular with respect to the Lebesgue measure. We work towards characterization of parameters exhibiting this property. Our main result is establishing singularity of the corresponding stationary measures for certain sets of parameters, hence confirming the conjecture on these sets. We present two different approaches to proving singularity - one based on constructing invariant minimal Cantor sets and one based on estimating the expected return time to a suitably chosen interval. In the first case we calculate the Hausdorff dimension of the measure for certain parameters. We present also several auxiliary results concerning AM-systems.